Question

如图，在?ABCD中，过A、B、C三点的圆交AD于E，且与CD相切．若AB=4，BE=5，则DE的长为

1. A.
   3
2. B.
   4
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

D
分析：连接CE，根据圆周角定理易知：∠BAE=∠BEC+∠EBC，而∠DCB=∠DCE+∠BCE，这两个等式中，由弦切角定理知：∠DCE=∠EBC；再由平行四边形的性质知：∠DCB=∠EAB，因此∠BEC=∠BCE，即可得BC=BE=5，即AD=5，进而可由切割线定理求DE的长．
解答：解：连接CE；
∵，
∴∠BAE=∠EBC+∠BEC；
∵∠DCB=∠DCE+∠BCE，
由弦切角定理知：∠DCE=∠EBC，
由平行四边形的性质知：∠DCB=∠BAE，
∴∠BEC=∠BCE，即BC=BE=5，
∴AD=5；
由切割线定理知：DE=DC²÷DA=，
故选D．
点评：此题主要考查了平行四边形的性质、切割线定理、弦切角定理以及圆周角定理的综合应用，能够判断出△BEC是等腰三角形，是解决此题的关键．