Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y=-

3

4

x+3分别与x轴、y轴交于点A和点B，二次函数y=ax²-4ax+c的图象经过点B和点C（-1，0），顶点为P．
（1）求这个二次函数的解析式，并求出P点坐标；
（2）若点D在二次函数图象的对称轴上，且AD∥BP，求PD的长；
（3）在（2）的条件下，如果以PD为直径的圆与圆O相切，求圆O的半径．

Answer 1

分析：（1）根据已知直线的解析式，可求得A、B的坐标，然后将B、C的坐标代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数的值，从而确定该抛物线的解析式；利用配方法将所得抛物线解析式化为顶点坐标式，进而可求得顶点P的坐标；
（2）由（1）的P点坐标知：抛物线的对称轴为x=2，因此抛物线对称轴经过AB的中点，设此交点为E，若BP∥AD，那么PE=DE，根据抛物线的对称轴方程易求得E点坐标，从而可得到PE的长，根据PD=2PE即可得解；
（3）由（2）知E是PD的中点，OE的长易求得，比较ED、OE的大小后发现，DE＞OE，若⊙E、⊙O相切，那么只有内切一种情况，故两圆的半径差等于圆心距，由此求得⊙O的半径．

解答：解：（1）因为直线y=-

3

4

x+3分别与x轴、y轴交于点A和点B；
由x=0，得y=3，y=0，得x=4，
所以A（4，0），B（0，3）；
把C（-1，0），B（0，3）代入y=ax²-4ax+c中，
得

c=3 a+4a+c=0

，
解得

c=3 a=- 3 5

；
∴这个二次函数的解析式为y=-

3

5

x2+

12

5

x+3；
y=-

3

5

(x-2)2+

27

5

，P点坐标为P(2，

27

5

)；

（2）设二次函数图象的对称轴与直线y=-

3

4

x+3交于E点，与x轴交于F点；
把x=2代入y=-

3

4

x+3
得，y=

3

2

，
∴E(2，

3

2

)，
∴PE=

27

5

-

3

2

=

39

10

；
∵PE∥OB，OF=AF，
∴BE=AE，
∵AD∥BP，
∴PE=DE，PD=2PE=

39

5

；

（3）∵E(2，

3

2

)，
∴OE=

4+ 9 4

=

5

2

，
∴ED＞OE；
设圆O的半径为r，以PD为直径的圆与圆O相切时，只有内切，
∴|

39

10

-r|=

5

2

，
解得：r1=

32

5

，r2=

7

5

，
即圆O的半径为

32

5

或

7

5

．

点评：此题考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点坐标的求法、圆与圆的位置关系等知识，难度适中．