Question

已知：如图，矩形纸片ABCD中，AB=5，BC=3，点E在AD上，且AE=1，点P是线段AB上一动点．折叠纸片，使点P与点E重合，展开纸片得折痕MN，过点P作PQ⊥AB，交MN所在的直线于点Q．设x=AP，y=PQ，则y关于x的函数图象大致为（　　）

A．

B．

C．

D．

Answer 1

分析：易证△PFN∽△PAE∽△QPN，根据相似三角形对应边的比相等，即可求得y与x的函数关系式，利用函数的性质即可选择．

解答：解：连接EP交NQ与点F，则NQ是EP的中垂线，
在直角△AEP中，EP=

AE2+AP2

=

x2+1

，
则EF=PF=

x2+1

2

，
∵∠A=∠NFP=90°，∠NPF=∠EPA，
∴△PFN∽△PAE，
∴

PF

PA

=

PN

PE

，即

x2+1

2x

=

PN

x2+1

，
则PN=

x2+1

2x

，
∵直角△NPQ中，PF⊥NQ，
∴△QPN∽△PFN
∴△QPN∽△PAE，
∴

PQ

AP

=

PN

AE

，即

y

x

=

x2+1

2x

，则y=

1

2

x²+

1

2

．
则函数图象是D．
故选D．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，正确求得函数的解析式是关键．