题目内容

如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴、y轴上，线段OA、OB的长（0A＜OB）是方程组 $数学公式$ 的解，点C是直线y=2x与直线AB的交点，点D在线段OC上，OD= $数学公式$ ．
（1）求直线AB的解析式及点C的坐标；
（2）求直线AD的解析式；
（3）P是直线AD上的点，在平面内是否存在点Q，使以0、A、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）解方程组方程组 $\text{[math]}$ ，
解得： $\text{[math]}$
∵线段OA、OB的长（0A＜OB）是方程组 $\text{[math]}$ 的解，
∴OA=6，OB=12，
∴A（6，O），B（0，12），
设直线AB的解析为y=kx+b，
∴ $\text{[math]}$
∴直线AB：y=-2x+12，
联立 $\text{[math]}$ ，
解得： $\text{[math]}$ ，
点C的坐标为（3，6）；

（2）设点D：（a，2a），
由OD=2 $\text{[math]}$ ：a²+（2a）²=（2 $\text{[math]}$ ）²，
得：a=±2，
∵由图得，a＞0，
∴a=2．
∴D（2，4），
设直线AD的解析式为y=kx+b
把A（6，0），D（2，4）代入得 $\text{[math]}$ ，

解得 $\text{[math]}$ ，
∴直线AD的解析式为y=-x+6；

（3）存在．
Q₁（-3 $\text{[math]}$ ，3 $\text{[math]}$ ）
Q₂（3 $\text{[math]}$ ，-3 $\text{[math]}$ ）
Q₃（3，-3）
Q₄（6，6）
分析：（1）设直线AB的解析为y=kx+b，解方程组方程组 $\text{[math]}$ ，得到的解即为OA，OB的长度，进而知道A和B的坐标，再把其横纵坐标分别代入求出k和b的值即可；把求出的解析式和直线y=2x联立解方程组，方程组的解即为点C的坐标；
（2）要求直线AD的解析式，需求出D的坐标，因为点D在直线OC上因此可设D（a，2a），又因为OD=2 $\text{[math]}$ ，由勾股定理可求出a的值，从而求得点D的坐标，把A、D的坐标代入，利用方程组即可求解；
（3）由（2）中D的坐标可知，DF=AF=4，所以∠OAD=45°，因为以O、A、P、Q为顶点的四边形是菱形，所以需分情况讨论：若P在x轴上方，OAPQ是菱形，则PQ∥OA，PQ=OA=6=AP，过P作PM⊥x轴，因为∠OAD=45°，利用三角函数可求出PM=AM=3 $\text{[math]}$ ，OM=6-3 $\text{[math]}$ ，即P（6-3 $\text{[math]}$ ，3 $\text{[math]}$ ），所以Q的横坐标为6-3 $\text{[math]}$ -6=-3 $\text{[math]}$ ，Q₁（-3 $\text{[math]}$ ，3 $\text{[math]}$ ）；若P在x轴下方，OAPQ是菱形，则PQ∥OA，PQ=OA=6=AP．过P作PM⊥x轴，因为∠MAP=∠OAD=45°，利用三角函数可求出PM=AM=3 $\text{[math]}$ ，OM=6+3 $\text{[math]}$ ，即P（6+3 $\text{[math]}$ ，-3 $\text{[math]}$ ），所以Q的横坐标为6+3 $\text{[math]}$ -6=3 $\text{[math]}$ ，Q₂（3 $\text{[math]}$ ，-3 $\text{[math]}$ ）；若Q在x轴上方，OAQP是菱形，则∠OAQ=2∠OAD=90°，所以此时OAQP是正方形．又因正方形边长为6，所以此时Q（6，6）；若Q在x轴下方，OPAQ是菱形，则∠PAQ=2∠OAD=90°，所以此时OPAQ是正方形．又因正方形对角线为6，由正方形的对称性可得Q（3，-3）．
点评：本题主要考查了利用待定系数法求函数的解析式、分情况求点的坐标，而解决这类问题常用到分类讨论、数形结合、方程和转化等数学思想方法．