Question

【题目】如图，在中，，，正方形的边长为2，将正方形绕点旋转一周，连接、、．

（1）猜想：的值是__________，直线与直线相交所成的锐角度数是__________；

（2）探究：直线与垂直时，求线段的长；

（3）拓展：取的中点，连接，直接写出线段长的取值范围．

Answer 1

【答案】（1），；（2）或；（3）（3）．

【解析】

（1）证明△CBD∽△ABE，相似比为，△ABE可以看做△CBD绕点B逆时针旋转45°后放大得到，故直线与直线相交所成的锐角度数是45°；

（2）证明，得到，分点在线段上和点在线段延长线上两类讨论，分别求出AE长，即可求出CD；

（3）延长EF到G使得FG=EF，连接AG，BG，则△BFG为等腰直角三角形，求出BG，证明MF=，根据三角形三边关系求出AG取值范围，问题得解．

解：（1）由题意得，△ABC, △EBD都是等腰直角三角形，

∴,

∴

∴△CBD∽△ABE

∴,△ABE可以看做△CBD绕点B逆时针旋转45°后放大得到，故直线与直线相交所成的锐角度数是45°；

（2）∵是腰长为4的等腰直角三角形，四边形的边长为2的正方形，

∴，，，

∴，，∴．

∴，∴．

∵，∴当时，、、三点在一直线上时，

在中，∵，∴．

如图2，当点在线段上时，，∴；

如图3，当点在线段延长线上时，，∴．

综上所述，当时，线段的长为或；

（3）延长EF到G使得FG=EF，连接AG，BG，

则△BFG为等腰直角三角形，

∴BG=BF=，

∵M为AE中点，F为EG中点，

∴MF为△EAG中位线，

∴MF=，

在△ABG中，∵AB-BG≤AG≤AB+BG，

∴≤AG≤，

∴≤MF≤ ．

本题为相似的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，正方形，等腰直角三角形的性质，三角形中位线定理，三角形三边关系，解题关键是找到图形中的旋转相似，注意运用好分类讨论的数学思想，问题3中要善于构造中位线解决问题．