Question

如图，在平面直角坐标系中放置一矩形ABCO，其顶点为A（0，1）、B（－3，1）、C（－3，0）、O（0，0）．将此矩形沿着过E（－，1）、
F（－，0）的直线EF向右下方翻折，B、C的对应点分别为B′、C′．

 

 
【小题1】求折痕所在直线EF的解析式；
【小题2】一抛物线经过B、E、B′三点，求此二次函数解析式；
【小题3】能否在直线EF上求一点P，使得△PBC周长最小？如能，求出点P的坐标；若不能，说明理由．

Answer 1

【小题1】设EF的解析式为y=kx+b,把E（－，1）、F（,0）的坐标代入
1=－k+b             解得：k=
0=k+b                    b=4
所以，直线EF的解析式为y=x+4-
【小题1】设矩形沿直线EF向右下方翻折，B、C的对应点分别为B′、C′
∵BE=3-=2；∴B′E= BE=2
在Rt△AE B′中，根据勾股定理，求得： A B′＝3，∴B′的坐标为（0，-2）
设二次函数的解析式为：y=ax²+bx+c
把点B（－3，1）、E（－，1）、B′（0，-2）代入
-2=c                                  a=
3a－b+c=1                 解得： b=
27a－3b+c=1                       c=－2
∴二次函数的解析式为y=x²x－2
【小题1】能，可以在直线EF上找到点P,连接C,交直线EF于点P，连接BP.
由于B′P=BP,此时，点P与C、B′在一条直线上，所以，BP+PC = B′P+PC的和最小，
由于BC为定长，所以满足△PBC周长最小。
设直线B′C的解析式为：y=kx+b
－2=b
0=－3k+b        所以，直线B′C的解析式为-
又∵P为直线B′C和直线EF的交点，
∴         解得：  
y=x+4                     
∴点P的坐标为（ ， ）-

解析【小题1】把已知量代入函数解析式，利用待定系数法列出方程求解，从而得到二次函数的解析式。
【小题1】连接BP，得到BP+PC = B′P+PC的和最小，从而满足△PBC周长最小。