Question

如图，二次函数y=-

1

2

x2+c的图象经过点D(-

3

，

9

2

)，与x轴交于A、B两点．

（1）求c的值；
（2）如图①，设点C为该二次函数的图象在x轴上方的一点，直线AC将四边形ABCD的面积二等分，试证明线段BD被直线AC平分，并求此时直线AC的函数解析式；
（3）设点P、Q为该二次函数的图象在x轴上方的两个动点，试猜想：是否存在这样的点P、Q，使△AQP≌△ABP？如果存在，请举例验证你的猜想；如果不存在，请说明理由．（图②供选用）

Answer 1

分析：（1）将D点坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数c的值；
（2）若△ACD与△ABC的面积相等，则两个三角形中，AC边上的高相等，设AC、BD的交点为E，若以CE为底，AC边上的高为高，可证得△CED和△CEB的面积相等；这两个三角形中，若以DE、BE为底，则两个三角形同高，那么DE=BE，由此可证得AC平分BD；
由于E是BD的中点，根据B、D的坐标，即可求出E点的坐标，根据A、E的坐标即可用待定系数法求出直线AC的解析式；
（3）设抛物线顶点为N（0，6），在Rt△AON中，易得AN=4

3

，于是以A点为圆心，AB=4

3

为半径作圆与抛物线在x轴上方一定有交点Q，连接AQ，再作∠QAB平分线AP交抛物线于P，连接BP，PQ，此时由“边角边”易得△AQP≌△ABP．

解答：解：（1）∵抛物线经过D（-

3

，

9

2

），则有
-

1

2

×3+c=

9

2

，
解得c=6；

（2）设AC与BD的交点为E，过D作DM⊥AC于M，过B作BN⊥AC于N
∵S_△ADC=S_△ACB，
∴

1

2

AC•DM=

1

2

AC•BN，即DM=BN；
∴

1

2

CE•DM=

1

2

CE•BN，
即S_△CED=S_△BEC（*）；
设△BCD中，BD边上的高为h，由（*）得：
 

1

2

DE•h=

1

2

BE•h，即BE=DE，故AC平分BD；
易知：A（-2

3

，0），B（2

3

，0），D（-

3

，

9

2

），
由于E是BD的中点，则E（

3

2

，

9

4

）；
设直线AC的解析式为y=kx+b，则有：
 

-2 3 k+b=0 3 2 k+b= 9 4

，
解得

k= 3 3 10 b= 9 5

；
∴直线AC的解析式为y=

3 3

10

x+

9

5

（3）存在．
设抛物线顶点为N（0，6），在Rt△AON中，易得AN=4

3

，
于是以A点为圆心，AB=4

3

为半径作圆与抛物线在x轴上方一定有交点Q，连接AQ，
再作∠QAB平分线AP交抛物线于P，连接BP，PQ，
此时由“边角边”易得△AQP≌△ABP．

点评：此题主要考查了一次函数与二次函数解析式的确定、三角形面积的求法、以及全等三角形和直角三角形的判定和性质．