题目内容
如图，A为⊙O外一点，AB切⊙O于点B，AO交⊙O于C，CD⊥OB于E，交⊙O于点D，连接OD．若AB=12，AC=8．（1）求OD的长；
（2）求CD的长．
考点：切线的性质,勾股定理,相似三角形的性质
专题：几何图形问题
分析：（1）设⊙O的半径为R，根据切线定理得OB⊥AB，则在Rt△ABO中，利用勾股定理得到R2+122=（R+8）2，解得R=5，即OD的长为5；
（2）根据垂径定理由CD⊥OB得DE=CE，再证明△OEC∽△OBA，利用相似比可计算出CE=
，所以CD=2CE=
．
（2）根据垂径定理由CD⊥OB得DE=CE，再证明△OEC∽△OBA，利用相似比可计算出CE=
| 60 |
| 13 |
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解答：解：（1）设⊙O的半径为R，
∵AB切⊙O于点B，
∴OB⊥AB，
在Rt△ABO中，OB=R，AO=OC+AC=R+8，AB=12，
∵OB2+AB2=OA2，
∴R2+122=（R+8）2，
解得R=5，
∴OD的长为5；
（2）∵CD⊥OB，
∴DE=CE，
而OB⊥AB，
∴CE∥AB，
∴△OEC∽△OBA，
∴
=
，
即
=
，
∴CE=
，
∴CD=2CE=
．
∵AB切⊙O于点B，
∴OB⊥AB，
在Rt△ABO中，OB=R，AO=OC+AC=R+8，AB=12，
∵OB2+AB2=OA2，
∴R2+122=（R+8）2，
解得R=5，
∴OD的长为5；
（2）∵CD⊥OB，
∴DE=CE，
而OB⊥AB，
∴CE∥AB，
∴△OEC∽△OBA，
∴
| CE |
| AB |
| OC |
| OA |
即
| CE |
| 12 |
| 5 |
| 5+8 |
∴CE=
| 60 |
| 13 |
∴CD=2CE=
| 120 |
| 13 |
点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理、垂径定理和相似三角形的判定与性质．
练习册系列答案
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