Question

【题目】如图，在Rt△ABC，∠ABC=90°，AB=20，BC=15,点D为AC边上的动点，点D从点C出发，沿CA往A运动，当运动到点A时停止.若设点D的运动时间为t秒，点D运动的速度为每秒2个单位长度.

（1）当t=2时，求CD、AD的长；

（2）在D运动过程中，△CBD能否为直角三角形，若不能，请说明理由，若能，请求出t的值；

（3）当t为何值时，△CBD是等腰三角形，请直接写出t的值.

Answer 1

【答案】（1）CD=4，AD=21；（2）t= 4.5 或12.5秒；（3）t=6.25或7.5或9秒时，△CBD是等腰三角形.

【解析】试题分析：（1）根据CD=速度×时间列式计算即可得解，利用勾股定理列式求出AC，再根据AD=AC-CD代入数据进行计算即可得解；

（2）分①∠CDB=90°时，利用△ABC的面积列式计算即可求出BD，然后利用勾股定理列式求解得到CD，再根据时间=路程÷速度计算；②∠CBD=90°时，点D和点A重合，然后根据时间=路程÷速度计算即可得解；

（3）分①CD=BD时，过点D作DE⊥BC于E，根据等腰三角形三线合一的性质可得CE=BE，从而得到CD=AD；②CD=BC时，CD=6；③BD=BC时，过点B作BF⊥AC于F，根据等腰三角形三线合一的性质可得CD=2CF，再由（2）的结论解答．

试题解析：(1) t=2时，CD=2×2=4

∵∠ABC=90°，AB=20，BC=15

∴AC=

AD=AC-CD=25-4=21

(2) ① ∠CDB=90°时，

即

解得BD=12

所以CD=

t= 9÷2=4.5

②∠CBD=90°时,点D和点A重合

t=25÷2=12.5

综上所述，t= 4.5 或12.5秒

（3）①CD=BD时，如图1，过点D作DE⊥BC于E，

则CE=BE，

CD=AD=AC=×25=12.5，

t=12.5÷2=6.25；

②CD=BC时，CD=15，t=15÷2=7.5；

③BD=BC时，如图2，过点B作BF⊥AC于F，

则CF=9，

CD=2CF=9×2=18，

t=18÷2=9，

综上所述，t=6.25或7.5或9秒时，△CBD是等腰三角形．