题目内容

如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴上，B点坐标为（4精英家教网，3）．抛物线y1=
14
x2+bx+c经过O、A两点．
（1）则直线OB函数关系式
 
，抛物线y1的函数关系式
 
．
（2）若沿x轴负方向平移抛物线y1，使其经过点B，得到抛物线y2，则平移的距离是
 
个单位长度，抛物线y2的解析式是
 
．
（3）设P为线段OB上一点，过点P作y轴的平行线分别交抛物线y1、y2于点Q、R，连接CP、CR、CQ．若P点的横坐标为m，当△CPR的面积是△CQR的面积的2倍时，求m的值．
分析：（1）首先求出A，B，C的点的坐标，再利用待定系数法分别求出直线OB函数关系式，抛物线y1的函数关系式；
（2）利用二次函数图象的平移性质，沿x轴负方向平移抛物线y1，得出a，c的值不变，即可求出；
（3）表示出△CPR的面积以及△CQR的面积根据两者的面积关系得出m的值．
解答：解：（1）∵B点坐标为（4，3），
∴代入解析式y=kx，精英家教网
得出OB：y=
3
4
x；
根据B点坐标为（4，3），
∴O（0，0），A（4，0）
代入y1=
1
4
x2+bx+c，
∴
1
4
×16+4b+c=0
c=0
，
∴c=0，b=-1，
∴y1=
1
4
x2-x；
故答案为：y=
3
4
x，y1=
1
4
x2-x；

（2）∵y1=
1
4
x2-x=
1
4
（x-2）2-1；
∵沿x轴负方向平移抛物线y1，使其经过点B，得到抛物线y2，
∴抛物线y2过B点，假设y2=
1
4
（x+a）2-1；
代入B点，解得：a=0或-8（不合题意舍去），
∴平行的距离为：2个单位长度，
∴y2=
1
4
x2-1；

（3）由题意知0≤m≤4．
要使△CPR的面积是△CQR的面积的2倍，只需PR=2QR．
若Q在R、P之间，则PR=
3
4
m-（
1
4
m2-1）=-
1
4
m2+
3
4
m+1
2QR=2[
1
4
m2-m-（
1
4
m2-1）]=2-2m．
∴-
1
4
m2+
3
4
m+1=2-2m，精英家教网
解得m1=
11-
105
2
，m2=
11+
105
2
，
∵m2＞5，不符合题意，舍去．
若R在Q、P之间，则PR=
3
4
m-（
1
4
m2-1）=-
1
4
m2+
3
4
m+1，
2QR=2[
1
4
m2-1-（
1
4
m2-m）]=2m-2．
∴-
1
4
m2+
3
4
m+1=2m-2，
解得：m1=
-5+
73
2
，m2=
-5-
73
2
，
∵m2＜0，不符合题意，舍去．
综上所述，当△CPR的面积是△CQR的面积的2倍时，
m=
11-
105
2
或m=
-5+
73
2
．
点评：此题主要考查了二次函数解析式的性质以及图象的平移等知识，主要考查学生数形结合的数学思想方法，注意分类讨论思想的应用．
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BD
AB
=
5
8
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5
29
5
29
．
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5
5
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k
x
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k
x
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