题目内容
如图，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，△ABC按一定速度沿BC向右平移，平移后的三角形记为△DEF，平移距离不超过6（如图1），每到一个位置，都将△DEF绕E旋转，使DE始终经过点A，EF与AC交于点M（如图2）．
（1）求证：△ABE∽△ECM；
（2）若△AEM为等腰三角形，求△ABC平移的距离；
（3）在平移和旋转的过程中，当线段AM最短时，求△AEM的面积．
（1）求证：△ABE∽△ECM；
（2）若△AEM为等腰三角形，求△ABC平移的距离；
（3）在平移和旋转的过程中，当线段AM最短时，求△AEM的面积．
考点：相似形综合题
专题：压轴题
分析：（1）根据等边对等角可得∠B=∠C，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠B+∠BAE=∠DEF+∠CEM，根据平移和旋转的性质可得∠B=∠DEF，从而得到∠BAE=∠CEM，再根据两组角对应相等两三角形相似证明即可；
（2）分①AE=ME时，利用“角角边”证明△ABE和△ECM全等，根据全等三角形对应边相等可得EC=AB，然后求出BE，②AM=ME时，根据等边对等角可得∠AEM=∠EAM，然后求出△ABC和△MAE相似，根据相似三角形对应边成比例求出
，再根据△ABE和△ECM相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出CE的长度，然后根据BC=6求出BE的长，③AE=AM时，求出点M、C重合，没有开始平移；
（3）根据垂线段最短，AE⊥BC时，AM⊥EF，此时AM最短，根据等腰三角形三线合一的性质求出EC=
BC，再利用勾股定理列式求出AE，然后根据△AME和△AEC相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出AM、EM，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
（2）分①AE=ME时，利用“角角边”证明△ABE和△ECM全等，根据全等三角形对应边相等可得EC=AB，然后求出BE，②AM=ME时，根据等边对等角可得∠AEM=∠EAM，然后求出△ABC和△MAE相似，根据相似三角形对应边成比例求出
| ME |
| AE |
（3）根据垂线段最短，AE⊥BC时，AM⊥EF，此时AM最短，根据等腰三角形三线合一的性质求出EC=
| 1 |
| 2 |
解答：（1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
由三角形的外角性质，∠B+∠BAE=∠DEF+∠CEM，
∵△ABC平移后的三角形记为△DEF，
∴∠B=∠DEF，
∴∠BAE=∠CEM，
∴△ABE∽△ECM；
（2）解：△AEM为等腰三角形，分三种情况讨论：
①如图1，AE=ME时，
在△ABE和△ECM中，
，
∴△ABE≌△ECM（AAS），
∴EC=AB=5，
∴平移距离BE=BC-EC=6-5=1；
②如图2，AM=ME时，则∠AEM=∠EAM，
∵∠C=∠B=∠AEM，
∴∠B=∠AEM=∠C=∠EAM，
∴△ABC∽△MAE，
∴
=
，
∴
=
=
，
∵△ABE∽△ECM，
∴
=
，
即
=
，
解得CE=
，
∴平移距离BE=BC-CE=6-
=
；
③AE=AM时，则∠AEM=∠AME，
∵∠AEM=∠B=∠C，
∴∠AME=∠C，
∴点M、C重合，没有开始平移；
综上所述，△AEM为等腰三角形，△ABC平移的距离为1或
；
（3）解：根据垂线段最短，AE⊥BC时，AM⊥EF，此时AM最短，
∵AB=AC=5，BC=6，
∴CE=
BC=
×6=3，
AE=
=
=4，
∵∠EAM=∠CAE，
∠AME=∠AEC=90°，
∴△AME∽△AEC，
∴
=
=
，
即
=
=
，
解得AM=
，EM=
，
∴△AEM的面积=
AM•EM=
×
×
=
．
∴∠B=∠C，
由三角形的外角性质，∠B+∠BAE=∠DEF+∠CEM，
∵△ABC平移后的三角形记为△DEF，
∴∠B=∠DEF，
∴∠BAE=∠CEM，
∴△ABE∽△ECM；
（2）解：△AEM为等腰三角形，分三种情况讨论：
①如图1，AE=ME时，
在△ABE和△ECM中，
|
∴△ABE≌△ECM（AAS），
∴EC=AB=5，
∴平移距离BE=BC-EC=6-5=1；
②如图2，AM=ME时，则∠AEM=∠EAM，
∵∠C=∠B=∠AEM，
∴∠B=∠AEM=∠C=∠EAM，
∴△ABC∽△MAE，
∴
| ME |
| AB |
| AE |
| BC |
∴
| ME |
| AE |
| AB |
| BC |
| 5 |
| 6 |
∵△ABE∽△ECM，
∴
| ME |
| AE |
| CE |
| AB |
即
| 5 |
| 6 |
| CE |
| 5 |
解得CE=
| 25 |
| 6 |
∴平移距离BE=BC-CE=6-
| 25 |
| 6 |
| 11 |
| 6 |
③AE=AM时，则∠AEM=∠AME，
∵∠AEM=∠B=∠C，
∴∠AME=∠C，
∴点M、C重合，没有开始平移；
综上所述，△AEM为等腰三角形，△ABC平移的距离为1或
| 11 |
| 6 |
（3）解：根据垂线段最短，AE⊥BC时，AM⊥EF，此时AM最短，
∵AB=AC=5，BC=6，
∴CE=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
AE=
| AC2-CE2 |
| 52-32 |
∵∠EAM=∠CAE，
∠AME=∠AEC=90°，
∴△AME∽△AEC，
∴
| AM |
| AE |
| EM |
| CE |
| AE |
| AC |
即
| AM |
| 4 |
| EM |
| 3 |
| 4 |
| 5 |
解得AM=
| 16 |
| 5 |
| 12 |
| 5 |
∴△AEM的面积=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 16 |
| 5 |
| 12 |
| 5 |
| 96 |
| 25 |
点评：本题是相似形综合题，主要利用了等边对等角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，等腰三角形两腰相等的性质，相似三角形的判定与性质，（2）难点在于要分情况讨论，（3）根据垂线段最短判断出AM最短时的情况是解题的关键．
练习册系列答案
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若代数式
在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
| 2x-4 |
| A、x≥2 | ||
| B、x＞2 | ||
| C、x≠2 | ||
D、x≥
|
由下列所给边长相同的正多边形的组合中，不能铺满地面的是（ ）
| A、正方形和正六边形 |
| B、正方形与正三角形 |
| C、正三角形与正六边形 |
| D、正三角形、正方形、正六边形 |
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