Question

【题目】在□ABCD中，经过A、B、C三点的⊙O与AD相切于点A，经过点C的切线与AD的延长线相交于点P，连接AC．

（1）求证：AB＝AC；

（2）若AB＝4，⊙O的半径为，求PD的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析，（2）

【解析】

（1）连接AO并延长交BC于点E，交⊙O于点F，由切线的性质可得∠FAP=90°，根据平行四边形的性质可得∠AEB=90°，由垂径定理点BE=CE，根据垂直平分线的性质即可得AB=AC；（2）连接FC，OC，设OE＝x，则EF＝－x，根据AF为直径可得∠ACF=90°，利用勾股定理可得CF的长，利用勾股定理可证明OC2－OE2＝CF2－EF2，即可求出x的值，进而可得EC、BC的长，由平行线性质可得∠PAC=∠ACB，由切线长定理可得PA=PC，即可证明∠PAC=∠PCA，由AB=AC可得∠ABC=∠ACB，利用等量代换可得∠ABC=∠PAC，即可证明△PAC∽△ABC，根据相似三角形的性质可求出AP的长，根据PD=AP-AD即可得答案.

（1）连接AO并延长交BC于点E，交⊙O于点F．

∵AP是⊙O的切线，AF是⊙O的直径，

∴AF⊥AP，

∴∠FAP＝90°．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC．

∴∠AEB＝∠FAP＝90°，

∴AF⊥BC．

∵AF是⊙O的直径，AF⊥BC，

∴BE＝CE．

∵AF⊥BC，BE＝CE，

∴AB＝AC．

（2）连接FC，OC．

设OE＝x，则EF＝－x．

∵AF是⊙O的直径，

∴∠ACF＝90°．

∵AC＝AB＝4，AF＝2，

∴在Rt△ACF中，∠ACF＝90°，

∴CF＝＝2．

∵在Rt△OEC中，∠OEC＝90°，

∴CE2＝OC2－OE2．

∵在Rt△FEC中，∠FEC＝90°，

∴CE2＝CF2－EF2．

∴OC2－OE2＝CF2－EF2.即－x2＝22－（－x）2．

解得x＝．

∴EC＝＝．

∴BC＝2EC＝．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD＝BC＝．

∵AD∥BC，

∴∠PAC＝∠ACB．

∵PA，PC是⊙O的切线，

∴PA＝PC．

∴∠PAC＝∠PCA．

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB．

∴∠PAC＝∠ABC，∠PCA＝∠ACB．

∴△PAC∽△ABC，

∴＝．

∴AP＝·AB＝2．

∴PD＝AP－AD＝．