Question

【题目】如图1，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=5，OC=4．在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处，边AE上有一动点P（不与A，E重合）自A点沿AE方向向E点匀速运动，运动的速度为每秒1个单位长度，设运动的时间为t秒（0＜t＜5），过P点作ED的平行线交AD于点M，过点M作AE的平行线交DE于点N．

（1）直接写出 D，E 两点的坐标，D（ ），E（ ）

（2）求四边形PMNE的面积S与时间t之间的函数关系式；当t取何值时，S有最大值？

（3）当t为何值时，DP平分∠EDA？

（4）当t为何值时，以A，M，E为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应的时刻点M的坐标．

Answer 1

【答案】（1）（0，）；（2，4）．(2) S矩形PMNE=-（t-）2+，当t=时，S矩形PMNE有最大值．（3）当t=时，DP平分∠EDA．（4）当t=或t=2时，以A，M，E为顶点的三角形为等腰三角形，相应M点的坐标为（，）或（5-2，）．

【解析】

试题分析：（1）根据折叠的性质可知：AE=OA，OD=DE，那么可在直角三角形ABE中，用勾股定理求出BE的长，进而可求出CE的长，也就得出了E点的坐标．在直角三角形CDE中，CE长已经求出，CD=OC-OD=4-OD，DE=OD，用勾股定理即可求出OD的长，也就求出了D点的坐标；

（2）很显然四边形PMNE是个矩形，可用时间t表示出AP，PE的长，然后根据相似三角形APM和AED求出PM的长，进而可根据矩形的面积公式得出S，t的函数关系式，根据函数的性质即可得出S的最大值及对应的t的值；

（3）由DP是∠EDA的角平分线可知：PE=PM，然后结合相似三角形的性质列出关于t的方程，最后再求解即可；

（4）本题要分三种情况进行讨论：（Ⅰ）ME=MA时，此时MP为三角形ADE的中位线，那么AP=，据此可求出t的值，过M作MF⊥OA于F，那么MF也是三角形AOD的中位线，M点的横坐标为A点横坐标的一半，纵坐标为D点纵坐标的一半．由此可求出M的坐标．（Ⅱ）当MA=AE时，先在直角三角形OAD中求出斜边AD的长，然后根据相似三角形AMP和ADE来求出AP，MP的长，也就能求出t的值．根据折叠的性质，此时AF=AP，MF=MP，也就求出了M的坐标；（Ⅲ）EM=EA的情况不成立．

试题解析：（1）依题意可知，折痕AD是四边形OAED的对称轴，

∵在Rt△ABE中，AE=AO=5，AB=4，BE==3．

∴CE=2．

∴E点坐标为（2，4）．

在Rt△DCE中，DC2+CE2=DE2，

又∵DE=OD．

∴（4-OD）2+22=OD2．

解得：OD=．

∴D点坐标为（0，）．

（2）∵PM∥ED，

∴△APM∽△AED．

∴，

∴PM=．

又∵AP=t，ED=，AE=5，

∴PM=．

∵PM∥DE，MN∥EP，

∴四边形NMPE为平行四边形．

又∵∠DEA=90°，

∴四边形PMNE为矩形．

∴S矩形PMNE=PMPE=×(5-t)=- t2+t．

∴S矩形PMNE=-（t-）2+，

又∵0＜＜5．

∴当t=时，S矩形PMNE有最大值．

（3）∵四边形NMPE是矩形，

∴PM⊥AD，PE⊥DE．

又∵DP平分∠EDA，

∴PE=PM．

由（2）可知：PM=，PE=5-t．

∴=5-t．

解得：t=．

∴当t=时，DP平分∠EDA．

（4）（Ⅰ）若以AE为等腰三角形的底，则ME=MA（如图①）

在Rt△AED中，ME=MA，

∵PM⊥AE，

∴P为AE的中点，

∴t=AP=AE=．

又∵PM∥ED，

∴M为AD的中点．

过点M作MF⊥OA，垂足为F，则MF是△OAD的中位线，

∴MF=OD=，OF=OA=，

∴当t=时，（0＜＜5），△AME为等腰三角形．

此时M点坐标为（，）．

（Ⅱ）若以AE为等腰三角形的腰，则AM=AE=5（如图②）

在Rt△AOD中，AD==．

过点M作MF⊥OA，垂足为F．

∵PM∥ED，

∴△APM∽△AED．

∴．

∴t=AP=．

∴PM=t=．

∴MF=MP=，OF=OA-AF=OA-AP=5-2，

∴当t=2时，（0＜2＜5），此时M点坐标为（5-2，）．

（Ⅲ）根据图形可知EM=EA的情况不成立．

综合综上所述，当t=或t=2时，以A，M，E为顶点的三角形为等腰三角形，相应M点的坐标为（，）或（5-2，）．