题目内容

如图，已知直线 $数学公式$ 分别交x轴、y轴于A、B两点，将△OAB绕坐标原点O顺时针旋转90°得到△OCD．抛物线y=ax²+bx+c经过A、C、D三点．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）若将该抛物线向下平移m（m＞0）个单位长度，使得顶点落在△OAB内部（不包含△OAB的各条边）时，求m的取值范围；
（3）设直线AB与该抛物线的另一个交点为Q，若在x轴上方的抛物线上存在相异的两点P₁、P₂，使△P₁AQ与△P₂AQ 的面积相等，且等于t，求t的取值范围．

解：（1）在 $\text{[math]}$ 中，令x=0，解得y=2，则OB=OD=2；
令y=0，得： $\text{[math]}$ x+2=0，解得：x=-4，则OA=OC=4，故A的坐标是（-4，0），B的坐标是（0，2），C的坐标是：（0，4），D的坐标是：（2，0）．
设抛物线的解析式是：y=ax²+bx+c，根据题意得： $\text{[math]}$ ，
解得： $\text{[math]}$ ．
则抛物线的解析式是：y=- $\text{[math]}$ x²-x+4．

（2）抛物线的对称轴是：x=- $\text{[math]}$ =-1．
把x=-1代入抛物线的解析式得：y=- $\text{[math]}$ +1+4= $\text{[math]}$ ，则顶点坐标是：（-1， $\text{[math]}$ ）．
在y= $\text{[math]}$ x+2中，令x=-1，解得：y= $\text{[math]}$ ．
则 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =3，因而m的范围是：3＜m＜ $\text{[math]}$ ．

（3）作EF∥AQ，使EF与抛物线只有一个公共点．

设EF的解析式是y= $\text{[math]}$ x+a，
把y= $\text{[math]}$ x+a代入抛物线的解析式得： $\text{[math]}$ x+a=- $\text{[math]}$ x²-x+4，
即- $\text{[math]}$ x²- $\text{[math]}$ x+4-a=0，
即：x²+3x+2a-8=0，
△=9-4（2a-8）=9-8a+32=41-8a=0，
解得：a= $\text{[math]}$ ．
则EF的解析式是：y= $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ ．
直线y= $\text{[math]}$ x+2与y= $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ 之间与y轴的交点之间的距离是： $\text{[math]}$ ．
则t的范围是： $\text{[math]}$ ≤t＜ $\text{[math]}$ ．
分析：（1）首先求得直线与x，y轴的交点坐标，即可求得OA，OB的长，则A，B，C，D的坐标即可求得，然后利用待定系数法即可求得函数的解析式；
（2）首先求得抛物线的顶点坐标，以及抛物线与直线y= $\text{[math]}$ x+2的交点坐标，据此即可求得m的范围；
（3）△P₁AQ与△P₂AQ 的面积相等，则t的最大值一定是抛物线在直线y= $\text{[math]}$ x+2的上面的部分到直线的距离的最大值，到直线y= $\text{[math]}$ x+2的距离最大的点，一定与直线平行且与抛物线只有一个公共点，可以设出直线的解析式，直线与抛物线组成的方程组只有一个解，利用判别式即可求解．两直线之间的距离就是最大值．
点评：本题主要考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点的求法等知识点．主要考查学生数形结合的数学思想方法．