Question

有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点．
甲：对称轴是直线x=4；
乙：与x轴两交点的横坐标都是整数；
丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3；
请写出满足上述全部特点的二次函数解析式．

Answer 1

解：此题答案不唯一
设所求解析式为y=a（x-x₁）（x-x₂），（其中x₁＜x₂），则
其图象与x轴两交点分别是A（x₁，0），B（x₂，0），与y轴交点坐标是（0，ax₁x₂）．
因为交点式a（x-x₁）（x-x₂），
又因为与y轴交点的横坐标为0，
所以a（0+x₁）（0+x₂），也就是ax₁x₂，
∵抛物线对称轴是直线x=4，
∴x₂-4=4-x₁，即：x₁+x₂=8　①
∵S△ABC=3，∴（x₂-x₁）•|ax₁x₂|=6，即：x₂-x₁=②
①②两式相加减，可得：x2=4+，
x₁=4-，
∵x₁，x₂是整数，ax₁x₂也是整数，
∴ax₁x₂是3的约数，共可取值为：±1，±3． 　
当ax₁x₂=±1时，x₂=7，x₁=1，a=±
当ax₁x₂=±3时，x₂=5，x1=₃，a=±
因此，所求解析式为：y=±（x-7）（x-1）或y=±（x-5）（x-3）
即：y₁=x²-x+1，
y₂=-x²+x-1．
y₃=x²-x+3，
y₄=-x²+x-3．
故答案为：y=x²-x+3（答案不唯一）．
分析：由对称轴是直线x=4，与x轴两交点的横坐标都是整数，可设与x轴两交点坐标为（3，0），（5，0），又因为以函数与x轴，y轴交点为顶点的三角形面积为3，可得与y轴的交点的坐标为（0，3）．利用交点式y=a（x-x₁）（x-x₂），求出解析式．
点评：本题主要考查用待定系数法求二次函数的解析式，此题是开放题，解题的关键理解题意．还要注意利用待定系数法求函数解析式，当题目中出现二次函数与x轴的交点坐标时，采用交点式比较简单．