Question

有一个二次函数的图象，三位同学分别说出了它的一些特征：甲：对称轴是x=4；乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个点为顶点的三角形面积为3．请写出满足上述全部特征的一个二次函数的解析式．

Answer 1

分析：根据题意画出草图，直接写出图象与x轴交点的横坐标，根据以这三个点为顶点的三角形面积为3，求出与y轴交点纵坐标，当其值为正数时即可．

解答：解：如图所示：令A点坐标为（3，0），
∵对称轴是x=4，
∴B点坐标为（5，0）．
又∵△ABC的面积为3，
∴

1

2

×AB×OC=3，即

1

2

（5-3）OC=3，解得OC=3，
∴C点纵坐标为3，是整数，符合题意．
设二次函数解析式为y=a（x-3）（x-5），把C（0，3）代入解析式得，3=a（0-3）（0-5），
解得，a=

1

5

，
∴函数解析式为y=

1

5

（x-3）（x-5），即y=

1

5

x²-

8

5

x+3．
故答案为：y=

1

5

x²-

8

5

x+3或y=-

1

5

x²+

8

5

x-3或y=

1

7

x²-

8

7

x-3或y=-

1

7

x²+

8

7

x-3．

点评：此题考查了利用待定系数法求函数解析式．由于此题有一定的开放性，可根据面积求出不同的与x轴、y轴点的坐标，得到不同的解析式，故答案不唯一．