Question

5．在正方形ABCD中，BD是一条对角线，点P在射线CD上（与点C、D不重合），连接AP，平移△ADP，使点D移动到点C，得到△BCQ，过点Q作QH⊥BD于H，连接AH，PH．

（1）若点P在线段CD上，如图1．判断AH与PH的数量关系与位置关系并加以证明；
（2）若点P在线段CD的延长线上，如图2．
①依题意补全图2；
②判断（1）中的结论是否还成立？若成立请直接写出结论；若不成立请说明理由．

Answer 1

分析 （1）连接HC，根据正方形的性质、等腰直角三角形的性质得到△HDP≌△HQC，根据全等三角形的性质得到HP=HC，∠DHP=∠QHC，根据正方形是轴对称图形证明结论；
（2）①根据题意画出图形即可；
②同（1）的证明方法相同，根据图形证明即可．

解答 解：（1）AH=PH，AH⊥PH，
理由如下：如图1，连接HC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BDC=45°，又QH⊥BD，
∴△DHQ是等腰直角三角形，
由平移的性质可知DP=CQ，
在△HDP和△HQC中，
$\left\{\begin{array}{l}{HD=HQ}\\{∠HDP=∠HQC}\\{DP=QC}\end{array}\right.$，
∴△HDP≌△HQC，
∴HP=HC，∠DHP=∠QHC，
根据正方形是轴对称图形得到HA=HC，∠AHD=∠CHD，
∴HA=HP，AH⊥PH；
（2）①补全图见图2；
②如图2，连接HC，
根据正方形是轴对称图形得到HA=HC，∠AHD=∠CHD，
AH=PH，AH⊥PH，
理由如下：如图1，连接HC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BDC=45°，又QH⊥BD，
∴△DHQ是等腰直角三角形，
∴∠HDP=∠HQC=45°，
由平移的性质可知DP=CQ，
在△HDP和△HQC中，
$\left\{\begin{array}{l}{HD=HQ}\\{∠HDP=∠HQC}\\{PD=CQ}\end{array}\right.$，
∴△HDP≌△HQC，
∴HP=HC，∠DHP=∠QHC，
∴HA=HP，AH⊥PH．

点评 本题考查的是四边形综合题，涉及到正方形的性质、图形平移的性质、全等三角形的判定与性质等知识，难度适中，解决本题的关键是熟记全等三角形的性质定理和判定定理．