Question

如图，抛物线与x轴交于A（5,0）、B（-1,0）两点，过点A作直线AC⊥x轴，交直线于点C；
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求点A关于直线的对称点的坐标，判定点是否在抛物线上，并说明理由；
（3）点P是抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交线段于点M，是否存在这样的点P，使四边形PACM是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

（1）抛物线的解析式为.
（2）点A^/的坐标为（﹣3,4），点A^/在该抛物线上，理由见解析.
（3）存在，当点P运动到时，四边形PACM是平行四边形.理由见解析.

试题分析：（1）把A（5,0）、B（-1,0）两点代入二次函数解析式中，解方程组得到b、c的值，即可求得抛物线的解析式.
（2）过点作⊥x轴于E，AA^/与OC交于点D，可证得∽；再由相似三角形对应边成比例，可以求得点A′的坐标.然后把点A的坐标代入抛物线的解析式，验证点A′是否在抛物线上即可.
（3）存在.设直线的解析式为y=kx+b,将点C和点A′的坐标代入直线方程，即可得到直线的解析式为；设点P的坐标为，则点M为，要使四边形PACM是平行四边形,只需PM=AC.又点M在点P的上方，则有 ，解此方程即可得到
点P的坐标.
试题解析：（1）∵与x轴交于A（5,0）、B（-1,0）两点，
∴，  解得
∴抛物线的解析式为.························································3分
（2）过点作⊥x轴于E，AA^/与OC交于点D，
∵点C在直线y=2x上，   ∴C（5，10）
∵点A和关于直线y=2x对称，
∴OC⊥，=AD.
∵OA=5，AC=10,
∴.
∵,  ∴.∴.·············5分
在和Rt中，
∵∠+∠=90°，∠ACD+∠=90°，
∴∠=∠ACD.
又∵∠=∠OAC=90°，
∴∽.
∴即.
∴=4，AE=8.
∴OE=AE－OA=3.
∴点A^/的坐标为（﹣3,4）.·······························7分
当x=﹣3时，.
所以，点A^/在该抛物线上.································8分

存在.
理由：设直线的解析式为y=kx+b,
则，解得
∴直线的解析式为.··················9分
设点P的坐标为，则点M为.
∵PM∥AC，
∴要使四边形PACM是平行四边形,只需PM=AC.又点M在点P的上方，
∴.
解得（不合题意,舍去）当x=2时，.
∴当点P运动到时，四边形PACM是平行四边形.····················11分