Question

如图，半圆O的直径AB=4，⊙O1与半圆O内切且与AB切于点C，设⊙O1的半径为y，AC=x，
（1）请求出y关于x的函数关系式以及自变量x的取值范围；
（2）求出函数的最大值，并在所给平面直角坐标中画出函数的大致图象．

Answer 1

解：（1）连接OO₁，连接O₁C，
∴圆O₁与半圆O内切，半圆O的半径为2，圆O₁的半径为y，
∴OO₁=2﹣y，又半圆O与AB切于点C，
O₁C⊥OA，O₁C=y，又AC=x，则OC=OA﹣AC=2﹣x，
在直角三角形O₁OC中，根据勾股定理得：OO₁²=O₁C²+OC²，
即（2﹣y）²=y²+（2﹣x）²，则y=﹣x²+x（0＜x＜4）；
（2）二次函数y=﹣x²+x，当x=﹣=﹣=2时，
y_max=﹣×22+2=1，令y=0，得到﹣x2+x=0，
解得：x=0或x=4，∴抛物线与x轴交于（0，0）及（4，0），
对称轴为直线x=2，作出二次函数的图象，如图所示．