题目内容
【题目】已知：如图，直线
与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，线段OA的长是方程
的一个根，请解答下列问题：
求点B坐标；
双曲线
与直线AB交于点C，且
，求k的值；
在的条件下，点E在线段AB上，
，直线
轴，垂足为点
，点M在直线l上，坐标平面内是否存在点N，使以C、E、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
；（2）
；（3）点N的坐标为
或
或
或
．
【解析】
解方程
得：
，或
，得出
，
，代入
求出
，即可得出；
在
中，由勾股定理求出
，过点C作
轴于H，则
，由平行线得出
∽
，得出
，求出
，
，得出
，
，代入双曲线切线即可；
分两种情况：
当CE为以C、E、M、N为顶点的矩形的一边时，由矩形的性质和相似三角形的判定与性质得出点N的坐标为或；
当CE为以C、E、M、N为顶点的矩形的对角线时，由矩形的性质和相似三角形的判定与性质得出点N的坐标为或．
解：解方程得：，或，
线段OA的长是方程的一个根，
，
，
代入得：
，
，
；
在中，，
，
，
过点C作轴于H，如图1所示：
则，
∽，
，
即
，
解得：，，
，
，
双曲线
经过点C，
；
存在，理由如下：
分两种情况：
当CE为以C、E、M、N为顶点的矩形的一边时，过E作
轴于G，作
交直线l于M，如图2所示：
则
，
∽，
，
，
，
，
，
，
设直线EM的解析式为
，
把点
代入得：
，
解得：
，
直线EM的解析式为
，
当
时，
，
，
，
，
点N的坐标为；
当CE为以C、E、M、N为顶点的矩形的一边时，同理得出满足条件的另一点N的坐标为；
当CE为以C、E、M、N为顶点的矩形的对角线时，作
于G，
于H，如图3所示：
则
，
，
，
四边形EMCN是矩形，
，
由角的互余关系得：
，
∽
，
，
，
又
，
，
，
的坐标为
，
，，
；
当CE为以C、E、M、N为顶点的矩形的对角线时，同理得出满足条件的另一点N的坐标为
；
综上所述：存在以C、E、M、N为顶点的四边形是矩形，点N的坐标为或或或．
