Question

如图，直线OB是一次函数y=2x的图象，点A的坐标是（0，2），点C在直线OB上且△ACO为等腰三角形，求C点坐标．

Answer 1

分析：本题要分三种情况进行讨论，
第一种情况：以OA为腰，A为等腰三角形的顶点，那么C点必定在第一象限，且纵坐标的值比A的要大，根据OA=AC我们知道了AC的距离，我们可以根据C的纵坐标和横坐标以及AC的长构成的直角三角形，运用勾股定理以及所在直线的函数关系式求出C的坐标．
第二种情况：以OA为一腰，O为三角形的顶点，那么C点可以有两个，一个在第一象限，一个在第三象限，且这两个点关于原点对称．我们只要求出一个两个就都求出来了，求的方法同第一种情况．
第三种情况：以OA为底，OC，AC为腰，此点在第一象限，那么这点的纵坐标必为1（顶点在底边的垂直平分线上），那么根据所在函数的关系式，可求出这个C点的坐标．

解答：解：若此等腰三角形以OA为一腰，且以A为顶点，则AO=AC₁=2．
设C₁（x，2x），则得x²+（2x-2）²=2²，
解得x=

8

5

，得C₁（

8

5

，

16

5

），
若此等腰三角形以OA为一腰，且以O为顶点，则OC₂=OC₃=OA=2，
设C₂（x′，2x′），则得x′²+（2x′）²=2²，解得x′=

4 5

=

2 5

5

，
∴C₂（

2

5

5

，

4

5

5

），
又由点C₃与点C₂关于原点对称，得C₃（-

2

5

5

，-

4

5

5

），
若此等腰三角形以OA为底边，则C₄的纵坐标为1，从而其横坐标为

1

2

，得C₄（

1

2

，1），
所以，满足题意的点C有4个，坐标分别为：（

8

5

，

16

5

），（

2

5

5

，

4

5

5

），（-

2

5

5

，-

4

5

5

），C₄（

1

2

，1）．

点评：本题考查了一次函数和等腰三角形的综合知识，本题中没有明确告诉哪边为等腰三角形的腰和底边时，要分类进行讨论，不要遗漏掉任何一种情况．