题目内容
如图，Rt△AOB是一张放在平面直角坐标系中的三角形纸片，点O与原点重合，点A在x轴上，点B在y轴上
，∠BAO=30°，将Rt△AOB折叠，使OB边落在AB边上，点O与点D重合，折痕为BE．（1）求点E和点D的坐标；
（2）求经过O、D、A三点的二次函数解析式；
（3）设直线BE与（2）中二次函数图象的对称轴交于点F，M为OF中点，N为AF中点，在x轴上是否存在点P，使△PMN的周长最小，若存在，请求出点P的坐标和最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】分析：（1）根据折叠的性质知：∠EBA=∠BAO=30°，由此可得∠OBE=30°，在Rt△OBE中，根据直角三角形的性质即可求得OE的长，从而得到点E的坐标．同理可在Rt△OAB中，得到OA、OB的长，也就得到了A、B的坐标，由于D是AB的中点，根据A、B的坐标，即可得到点D的坐标．
（2）已知了抛物线图象上的三点坐标，利用待定系数法求解即可．
（3）先求出直线BE的解析式，联立抛物线的对称轴放出，即可得到点F的坐标，进而可求出M、N的坐标；取点M关于x轴的对称点M′，M′的坐标易求得，即可得到直线M′N的解析式，那么直线M′N和x轴的交点即为所求的P点，求出P点后，即可得到PM、PN的值，而MN的长为OA的一半，即可得到△PMN的最小周长．
解答：
解：（1）据题意可得∠1=
，OB=BD=
，DE=OE，
∵Rt△AOB中，∠BAO=30°，
∴∠ABO=60°，OA=3，AB=2
，
∴∠1=30°，A（3，0），B（0，
）．
Rt△EOB中，∵
∴
∴OE=1，∴E点坐标为（1，0）；
过点D作DG⊥OA于G，易知D是AB的中点，且A（3，0），B（0，
），
则OG=
OA=1.5，DG=
OB=
；
故D（1.5，
）．
（2）∵二次函数的图象经过x轴上的O、A两点，设二次函数的解析式为y=a（x-x1）（x-x2）；
据（1）得A点坐标为（3，0），
∴x1=0，x2=3，
把D点坐标（1.5，
）代入y=a（x-0）（x-3）
得
，
∴二次函数的解析式为
．
（3）设直线BE的解析式为y=k1x+b1，把（0，
）和（1，0）分别代入y=k1x+b1
得：
，
直线BE的解析式为
，
∵把x=1.5代入
得：
，
F点坐标为（1.5，-
），M点坐标为（
，-
），N点坐标为（
，-
），
M点关于x轴对称的点的坐标为M'（
，
），
设直线M'N的解析式为y=k2x+b2，把（
，
）和（
，-
）分别代入y=k2x+b2
得：
，
，
∴直线M'N的解析式为
，
把y=0代入
得
，
∴x轴上存在点P，使△PMN的周长最小，P点坐标为（
，0），
，
，
∴△PMN周长=
．
点评：此题主要考查了直角三角形的性质、二次函数解析式的确定、三角形中位线定理、平面展开-最短路径问题等知识，难度较大．
（2）已知了抛物线图象上的三点坐标，利用待定系数法求解即可．
（3）先求出直线BE的解析式，联立抛物线的对称轴放出，即可得到点F的坐标，进而可求出M、N的坐标；取点M关于x轴的对称点M′，M′的坐标易求得，即可得到直线M′N的解析式，那么直线M′N和x轴的交点即为所求的P点，求出P点后，即可得到PM、PN的值，而MN的长为OA的一半，即可得到△PMN的最小周长．
解答：
解：（1）据题意可得∠1=，OB=BD=，DE=OE，∵Rt△AOB中，∠BAO=30°，
∴∠ABO=60°，OA=3，AB=2
，∴∠1=30°，A（3，0），B（0，
）．Rt△EOB中，∵
∴
∴OE=1，∴E点坐标为（1，0）；
过点D作DG⊥OA于G，易知D是AB的中点，且A（3，0），B（0，
），则OG=
OA=1.5，DG=OB=；故D（1.5，
）．（2）∵二次函数的图象经过x轴上的O、A两点，设二次函数的解析式为y=a（x-x1）（x-x2）；
据（1）得A点坐标为（3，0），
∴x1=0，x2=3，
把D点坐标（1.5，
）代入y=a（x-0）（x-3）得
，∴二次函数的解析式为
．（3）设直线BE的解析式为y=k1x+b1，把（0，
）和（1，0）分别代入y=k1x+b1得：
，直线BE的解析式为
，∵把x=1.5代入
得：，F点坐标为（1.5，-
），M点坐标为（，-），N点坐标为（，-），M点关于x轴对称的点的坐标为M'（
，），设直线M'N的解析式为y=k2x+b2，把（
，）和（，-）分别代入y=k2x+b2得：
，，∴直线M'N的解析式为
，把y=0代入
得
，∴x轴上存在点P，使△PMN的周长最小，P点坐标为（
，0），，，∴△PMN周长=
．点评：此题主要考查了直角三角形的性质、二次函数解析式的确定、三角形中位线定理、平面展开-最短路径问题等知识，难度较大．
练习册系列答案
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如图，Rt△AOB是一张放在平面直角坐标系中的直角三角形纸片，点O与原点重合，点A在x轴上，点B在y轴上，OB=
痕为BE．
重合，点A在x轴上，点B在y轴上
，∠OAB=30°，将Rt△AOB折叠，使OB边落在AB边上，点O与点D重合，折
痕为BE．
，∠BAO=30度，将Rt△AOB折叠，使BO边落在BA边上，点O与点D重合，折痕为BC。