Question

 

如图9，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），抛物线上另有一点在第一象限，满足∠为直角,且恰使△∽△.

(1)(3分)求线段的长.

(2)(3分)求该抛物线的函数关系式．

(3)(4分)在轴上是否存在点，使△为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由.

 

Answer 1

 

（1）２

（2）ｙ＝－ｘ＋ｘ－４

（3）（０，０），（６－２，０），（４，０），（６＋２，０）

解析:（１）解：由ax－8ax+12a＝０（a＜0）得

　　　ｘ＝２，ｘ＝６

　　　即：ＯＡ＝２，ＯＢ＝６                   　……1分

　　　∵△OCA∽△OBC

　　　∴ＯＣ＝ＯＡ·ＯＢ＝２×６              　……2分

　　　∴ＯＣ＝２（－２舍去）

　　　∴线段ＯＣ的长为２                  　　……3分

（２）解：∵△OCA∽△OBC

　　　∴

设ＡＣ＝ｋ，则ＢＣ＝ｋ

由ＡＣ＋ＢＣ＝ＡＢ得

ｋ＋（ｋ）＝（６－２）

解得ｋ＝２（－２舍去）

∴ＡＣ＝２，ＢＣ＝２＝ＯＣ              　 ……1分

 过点Ｃ作ＣＤ⊥ＡＢ于点Ｄ

∴ＯＤ＝ＯＢ＝３

∴ＣＤ＝

∴Ｃ的坐标为（３，）                    　 ……2分

将C点的坐标代入抛物线的解析式得

＝ａ（３－２）（３－６）

∴ａ＝－

∴抛物线的函数关系式为：

ｙ＝－ｘ＋ｘ－４              　　　　　　　　 ……3分

（３）解：①当Ｐ与Ｏ重合时，△ＢＣＰ为等腰三角形

∴Ｐ的坐标为（０，０）          ……1分

②当ＰＢ＝ＢＣ时(Ｐ在B点的左侧)，△ＢＣＰ为等腰三角形

∴Ｐ的坐标为（６－２，０）  ……2分

③当Ｐ为ＡＢ的中点时，ＰＢ＝ＰＣ，△ＢＣＰ为等腰三角形

∴Ｐ的坐标为（４，０）                         ……3分

④当ＢＰ＝ＢＣ时(Ｐ在B点的右侧)，△ＢＣＰ为等腰三角形

∴Ｐ的坐标为（６＋２，０）                

∴在ｘ轴上存在点Ｐ，使△ＢＣＰ为等腰三角形，符合条件的点Ｐ的坐标为：

（０，０），（６－２，０），（４，０），（６＋２，０）  ……4分