题目内容
如图9，抛物线
与
轴交于A、B两点，与
轴交于点C（0，
）.（1）求抛物线的对称轴及
的值；（2）抛物线的对称轴上存在一点P，使得
的值最小，求此时点P的坐标；（3）点M是抛物线上的一动点，且在第三象限.
①当M点运动到何处时，△AMB的面积最大？求出△AMB的最大面积及此时点M的坐标；
②当M点运动到何处时，四边形AMCB的面积最大？求出四边形AMCB的最大面积及此时点M的坐标.
解：（1）抛物线的对称轴为：直线
.…………(1分)
∵抛物线过点C（0，），则
，
∴
.…………(2分)
（2）如图9，
根据两点之间线段最短可知，当P点在线段AC上就可使的值最小，
又因为P点要在对称轴上，所以P点应为线段AC与对称轴直线的交点.
由（1）可知，抛物线的表达式为：
.
令
，则
，解得：
，
.
则点A、B的坐标分别是A（，0）、B（
，0）.
设直线AC的表达式为
，则
解得：
所以直线AC的表达式为
.…………(3分)
当时， 
，
所以，此时点P的坐标为（
，
）. ………… (4分)
（3）①依题意得：
当点M运动到抛物线的顶点时，△AMB的面积最大.
由抛物线表达式
可知，抛物线的顶点坐标为（，
）.
∴点M的坐标为（，）. …………(5分)
△AMB的最大面积
. …………(6分)
②方法一：
如图9，过点M作
轴于点H，连结
、
、
.
点M在抛物线上，且在第三象限，设点M的坐标为（，
），则
…………(7分)
.
当
时，四边形AMCB的面积最大，最大面积为
.………(8分)
当时，
.
∴四边形AMCB的面积最大时，点M的坐标为（
，
）. (9分)
方法二：
如图9，过点M作轴于点H，交直线AC于点N，连结、、.
点M在抛物线上，且在第三象限，设点M的坐标为（，），则
点N的坐标为（，
），则
.
则
…………(7分)
.
当时，四边形AMCB的面积最大，最大面积为.………(8分)
当时，.
∴四边形AMCB的面积最大时，点M的坐标为（，）. (9分)解析:
略
的对称轴为：直线.…………(1分)∵抛物线
过点C（0，），则，∴
.…………(2分)（2）如图9，
根据两点之间线段最短可知，当P点在线段AC上就可使
的值最小，又因为P点要在对称轴上，所以P点应为线段AC与对称轴直线
的交点.由（1）可知，抛物线的表达式为：
.令
，则，解得：，.则点A、B的坐标分别是A（
，0）、B（，0）.设直线AC的表达式为
，则 解得：所以直线AC的表达式为
.…………(3分)当
时， ，所以，此时点P的坐标为（
，）. ………… (4分)（3）①依题意得：
当点M运动到抛物线的顶点时，△AMB的面积最大.
由抛物线表达式
可知，抛物线的顶点坐标为（，）.∴点M的坐标为（
，）. …………(5分)△AMB的最大面积
. …………(6分)②方法一：
如图9，过点M作
轴于点H，连结、、.点M在抛物线上，且在第三象限，设点M的坐标为（
，），则…………(7分).当
时，四边形AMCB的面积最大，最大面积为.………(8分)当
时，.∴四边形AMCB的面积最大时，点M的坐标为（
，）. (9分)方法二：
如图9，过点M作
轴于点H，交直线AC于点N，连结、、.点M在抛物线上，且在第三象限，设点M的坐标为（
，），则点N的坐标为（
，），则.则
…………(7分).当
时，四边形AMCB的面积最大，最大面积为.………(8分)当
时，.∴四边形AMCB的面积最大时，点M的坐标为（
，）. (9分)解析:略
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与
轴交于
、
两点（点
在第一象限，满足∠
为直角,且恰使△
∽△
.
的长. 
，使△
为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的
与
轴交于A、B两点，与
轴交于点C（0，
）.
的值；
的值最小，求此时点P的坐标；
与
轴交于
、
两点（点
在第一象限，满足∠
为直角,且恰使△
∽△
.
的长. 
，使△
为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的