Question

【题目】在一次数学探究活动课中，某同学有一块矩形纸片ABCD，已知AD=15，AB=9，M为线AD上的一个动点，将△ABM沿BM折叠得到△MBN，若△NBC是直角三角形，则AM长为__________．

Answer 1

【答案】3或27

【解析】

根据四边形ABCD为矩形以及折叠的性质得到∠A＝∠MNB＝90°，由M为AD上的一个动点可知若△NBC是直角三角形，∠NBC＝90°与∠NCB＝90°都不符合题意，只有∠BNC＝90°．然后分 N在矩形ABCD内部与 N在矩形ABCD外部两种情况进行讨论，利用勾股定理求得结论即可．

解：∵四边形ABCD为矩形，

∴∠BAD＝90°，

∵将△ABM沿BM折叠得到△MBN，

∴∠MAB＝∠MNB＝90°．

∵M为射线AD上的一个动点，△NBC是直角三角形，

∴∠NBC＝90°与∠NCB＝90°都不符合题意，

∴只有∠BNC＝90°．

①当∠BNC＝90°，N在矩形ABCD内部，如图1．

∵∠BNC＝∠MNB＝90°，

∴M、N、C三点共线，

∵AB＝BN＝9，BC＝15，∠BNC＝90°，

∴NC＝12，

设AM＝MN＝x，则MD＝15x，MC＝12＋x，

在Rt△MDC中，CD2＋MD2＝MC2，即92＋（15x）2＝（12＋x）2，

解得x＝3；

③当∠BNC＝90°，N在矩形ABCD外部时，如图2．

∵∠BNC＝∠MNB＝90°，

∴M、C、N三点共线，

∵AB＝BN＝9，BC＝15，∠BNC＝90°，

∴NC＝12，

设AM＝MN＝y，则MD＝y15，MC＝y12，

在Rt△MDC中，CD2＋MD2＝MC2，即92＋（y15）2＝（y12）2，

解得y＝27，

综上，AM的长为：3或27．

故答案为：3或27．