Question

4．如图，已知⊙O为△ABC的外接圆，BC为直径，点E在AB上，过点E作EF⊥BC，点G在FE的延长线上，且GA=GE．
（1）求证：AG与⊙O相切；
（2）若AC=5，AB=12，BE=$\frac{13}{3}$，求线段OE的长．

Answer 1

分析 （1）根据EF⊥BC，得∠BFE=90°，由对顶角相等和等边对等角可得：∠BAO+∠GAE=90°，OA⊥AG，即AG与⊙O相切；
（2）证明△BEF∽△BCA，列比例式得：$\frac{BF}{BA}$=$\frac{BE}{BC}$=$\frac{EF}{CA}$，可求得EF和BF的长，利用勾股定理求OE的长．

解答 证明：（1）如图，连接OA，
∵OA=OB，GA=GE，
∴∠ABO=∠BAO，∠GEA=∠GAE，
∵EF⊥BC，
∴∠BFE=90°，
∴∠ABO+∠BEF=90°．
又∵∠BEF=∠GEA，
∴∠GAE=∠BEF，
∴∠BAO+∠GAE=90°，
∴OA⊥AG，
即AG与⊙O相切；

（2）解：∵BC为直径，
∴∠BAC=90°，
∵AC=5，AB=12，
∴BC=13，
∵∠EBF=∠CBA，∠BFE=∠BAC，
∴△BEF∽△BCA，
∴$\frac{BF}{BA}$=$\frac{BE}{BC}$=$\frac{EF}{CA}$，
∴$\frac{BF}{12}=\frac{\frac{13}{3}}{13}=\frac{EF}{5}$，
∴EF=$\frac{5}{3}$，BF=4，
∴OF=OB-BF=$\frac{13}{2}$-4=$\frac{5}{2}$，
∴OE=$\sqrt{E{F}^{2}+O{F}^{2}}$=$\frac{5}{6}\sqrt{13}$．

点评 本题考查了切线的判定、三角形相似的性质和判定、勾股定理，熟练掌握切线的判定是关键，证明切线的常见的辅助线作法有：①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．