Question

图5是一个长为400米的环形跑道，其中A、B为跑道对称轴上的两点，且A、B之间有一条50米的直线通道。甲、乙两人同时从A点出发，甲按逆时针方向以速度v₁沿跑道跑步，当跑到B点处时继续沿跑道前进，乙按顺时针方向以速度v₂沿跑道跑步，当跑到B点处时沿直线通道跑回A点处。假设两人跑步时间足够长。求：

⑴如果v₁∶v₂=3∶2，那么甲跑了多少路程后，两人首次在A点处相遇？

⑵如果v₁∶v₂=5∶6，那么乙跑了多少路程后，两人首次在B点处相遇？

 

Answer 1

⑴设甲跑了n圈后，两人首次在A点处相遇，再设甲、乙两人的速度分别为v₁=3m，v₂=2m，

由题意可得在A处相遇时，他们跑步的时间是                 （2分）

是                                  （3分）

因为乙跑回到A点处，所以应是250的整数倍，从而知n的最小值是15，（4分）

所以甲跑了15圈后，两人首次在A点处相遇                          （5分）

⑵设乙跑了米，甲跑了米时，两人首次在B点处相遇，设甲、乙两人的速度分别为v₁=5m，v₂=6m，由题意可得，即 ，     （7分）

所以，即(p，q均为正整数)。

所以p，q的最小值为q=2，p=4，                                      （8分）

此时，乙跑过的路程为250×4＋200=1200（米）。                         （9分）

所以乙跑了1200米后，两人首次在B点处相遇。                         （10分）