Question

如图，在菱形ABCD中，∠ADC=120°，过点C作CE⊥AC且与AB的延长线交于点E．
（1）求证：四边形AECD是等腰梯形；
（2）若AD=4，求梯形AECD的面积．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD是菱形
∴DC∥AB，即：DC∥AE，
又AE＞AB=DC，
∴四边形AECD是梯形．
∴∠DAE=180°-∠ADC=180°-120°=60°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠CAE=∠DAE=30°，
又AC⊥CE，
∴∠E=60°，
∴∠DAE=∠E，
∴四边形AECD是等腰梯形．

（2）解：过点D作DH⊥AE于H，
则：DH=AD•sin∠DAH=4sin60°=2，
∴．
答：若AD=4，梯形AECD的面积为12．
分析：（1）根据四边形ABCD是菱形，先求证出四边形AECD是梯形，再利用三角形内角和定理求出∠DAE的度数，再根据AC⊥CE，求出∠E=60°，然后即可证明结论．
（2）过点D作DH⊥AE于H，利用三角函数值求出DH，然后再将已知数值代入梯形的面积公式即可．
点评：此题主要考查学生对等腰梯形的判定和菱形的性质的理解和掌握，此题难度不大，属于基础题．