Question

如图，边长为8和4的矩形OABC的两边分别在直角坐标系的x轴和y轴上，若沿对角线AC折叠后，点B落在第四象限B₁处，设B₁C交x轴于点D，求：
（1）点D的坐标；
（2）三角形ADC的面积；
（3）CD所在的直线解析式；
（4）点B₁的坐标．

Answer 1

解：（1）∵四边形OABC是矩形，
∴OA=BC=8，OC=AB=4，OA∥BC，
∴∠ACB=∠DAC，
由折叠的性质可得：∠ACB=∠ACD，
∴∠ACD=∠DAC，
∴AD=CD，
设OD=x，则CD=AD=8-x，
在Rt△OCD中，OD²+OC²=CD²，
∴x²+4²=（8-x）²，
解得：x=3，
∴OD=3，AD=CD=5，
∴D（3，0）；

（2）∵OC=4，AD=5，
∴S_△ACD=AD•OC=×5×4=10，

（3）∵C（0，4），D（3，0），
设直线CD的解析式为：y=kx+b，
∴，
解得：，
∴CD所在的直线解析式为y=-x+4；

（4）过点B₁作B₁E⊥OA于点E，
则B₁E∥OC，
∴△B₁ED∽△COD，
∴，
∵OD=3，OC=4，CD=5，
∴B₁D=B₁C-CD=8-5=3，
∴，
解得：ED=，B₁E=，
∴OE=OD+ED=，
∴点B₁的坐标为（，-）．
分析：（1）由矩形与折叠的性质，易证得△ADC是等腰三角形，然后设OD=x，又由勾股定理，即可得方程x²+4²=（8-x）²，解此方程即可求得答案；
（2）由AD=5，OC=3，即可求得三角形ADC的面积；
（3）由C（0，4），D（3，0），设直线CD的解析式为：y=kx+b，利用待定系数法即可求得CD所在的直线解析式；
（4）首先过点B₁作B₁E⊥OA于点E，则B₁E∥OC，即可得△B₁ED∽△COD，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．
点评：此题考查了待定系数法求一次函数的解析式、相似三角形的判定与性质、矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定与性质以及勾股定理．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．