题目内容
如图，☉O直径AB=10，C为☉o上一点，AC=6，弦CG平分∠ACB交AB于点D，DE∥BC，DF∥AC，分别次AC、BC于点E、F．（1）求证：四边形EDFC是正方形．
（2）求正方形EDFC的边长以及线段AD的长度；
（3）求弦AG的长度．
分析：（1）先求出四边形EDFC是平行四边形，再根据直径所对的圆周角是直角求出∠ECF=90°，从而得到四边形EDFC是矩形，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等求出DE=DF，从而得证；
（2）设正方形的边长为x，表示出AE=6-x，再根据勾股定理列式求出BC，然后利用∠BAC的正切值列式计算即可求出正方形的边长，再求出AE，然后利用勾股定理列式计算即可求出AD；
（3）根据正方形的性质求出CD，再根据同弧所对的圆周角相等可得∠B=∠G，∠DAG=∠DCB，然后利用两角对应相等，两三角形相似求出△ADG和△CDB相似，根据相似三角形对应边成比例列式计算即可求出AG．
（2）设正方形的边长为x，表示出AE=6-x，再根据勾股定理列式求出BC，然后利用∠BAC的正切值列式计算即可求出正方形的边长，再求出AE，然后利用勾股定理列式计算即可求出AD；
（3）根据正方形的性质求出CD，再根据同弧所对的圆周角相等可得∠B=∠G，∠DAG=∠DCB，然后利用两角对应相等，两三角形相似求出△ADG和△CDB相似，根据相似三角形对应边成比例列式计算即可求出AG．
解答：（1）证明：∵DE∥BC，DF∥AC，
∴四边形EDFC是平行四边形，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ECF=90°，
∴?EDFC是矩形，
∵CG平分∠ACB，
∴DE=DF，
∴矩形EDFC是正方形；
（2）解：设正方形的边长为x，则AE=6-x，
∵AB=10，AC=6，
∴BC=
=
=8，
∴tan∠BAC=
=
，
即
=
，
解得x=
，
即正方形EDFC的边长为
，
∴AE=6-
=
，
在Rt△ADE中，AD=
=
=
；
（3）解：∵正方形EDFC的边长为
，
∴CD=
，
∵∠B=∠G，∠DAG=∠DCB（在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等），
∴△ADG∽△CDB，
∴
=
，
即
=
，
解得AG=5
．
∴四边形EDFC是平行四边形，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ECF=90°，
∴?EDFC是矩形，
∵CG平分∠ACB，
∴DE=DF，
∴矩形EDFC是正方形；
（2）解：设正方形的边长为x，则AE=6-x，
∵AB=10，AC=6，
∴BC=
| AB2-AC2 |
| 102-62 |
∴tan∠BAC=
| ED |
| AE |
| BC |
| AC |
即
| x |
| 6-x |
| 8 |
| 6 |
解得x=
| 24 |
| 7 |
即正方形EDFC的边长为
| 24 |
| 7 |
∴AE=6-
| 24 |
| 7 |
| 18 |
| 7 |
在Rt△ADE中，AD=
| AE2+DE2 |
(
|
| 30 |
| 7 |
（3）解：∵正方形EDFC的边长为
| 24 |
| 7 |
∴CD=
24
| ||
| 7 |
∵∠B=∠G，∠DAG=∠DCB（在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等），
∴△ADG∽△CDB，
∴
| AG |
| BC |
| AD |
| CD |
即
| AG |
| 8 |
| ||||
|
解得AG=5
| 2 |
点评：本题是圆的综合题型，主要考查了正方形的判定与性质，勾股定理的应用，解直角三角形，在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等，相似三角形的判定与性质，（1）理清平行四边形、矩形、正方形三者之间的关系是解题的关键，（3）确定出相似三角形是解题的关键．
练习册系列答案
相关题目
如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是（ ）| A、6π | B、5π | C、4π | D、3π |
如图圆O直径AB上一点P，AB=2，∠BAC=20°，D是弧BC中点，则PD+PC的最小值为（ ）A、
| ||
| B、1 | ||
C、
| ||
D、
|
（2013•盘锦）如图，⊙O直径AB=8，∠CBD=30°，则CD=
如图，直径AB、CD相互垂直，P为