Question

二次函数y=ax²+bx+c（a＞0）图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1，3，与y轴负半轴交于点C，当a=时，△ABD是　等腰直角　三角形；要使△ACB为等腰三角形，则a值为　

Answer 1

或　．

     解：如图1，∵二次函数y=ax²+bx+c（a＞0）图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1，3，a=，

∴二次函数为y=（x+1）（x﹣3），

整理得y=x²﹣x﹣，

∴y=（x﹣1）²﹣2，

∴顶点D（1，﹣2），

作DE⊥AB于E，

∴DE=2，DE垂直平分AB，

∵AB=3+1=4，

∴AE=DE=BE，

∴∠DAB=∠ADE，∠ABD=∠BDE，

∵AD=BD，

∴∠DAB=∠DBA，

∴∠DAB=∠ADE=∠ABD=∠BDE，

∴∠ADB=∠DAB+∠CBA=90°，

∴△ABD是等腰直角三角形；

（2）要使△ACB为等腰三角形，则必须保证AB=BC=4或AB=AC=4或AC=BC，

当AB=BC=4时，

∵AO=1，△BOC为直角三角形，

又∵OC的长即为|c|，

∴c²=16﹣9=7，

∵由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，

∴c=﹣，

与2a+b=0、a﹣b+c=0联立组成解方程组，解得a=；

同理当AB=AC=4时，

∵AO=1，△AOC为直角三角形，

又∵OC的长即为|c|，

∴c²=16﹣1=15，

∵由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，

∴c=﹣与2a+b=0、a﹣b+c=0联立组成解方程组，解得a=；

同理当AC=BC时

在△AOC中，AC²=1+c²，

在△BOC中BC²=c²+9，

∵AC=BC，

∴1+c²=c²+9，此方程无解．

综上，要使△ACB为等腰三角形，则a值为或；

故答案为：等腰直角、或．