Question

如图，将边长为4的等边三角形沿MN折叠，点A恰好落在BC边上的点D处，已知AM：AN=2：3，求CD的长．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,等边三角形的性质,翻折变换（折叠问题）

专题：

分析：首先根据AM：AN=2：3，可设AM=2k，AN=3k，进而得到MB=4-2k，NC=4-3k，再由△AMN≌△DMN，可得DM=AM=2k，DN=AN=3k，然后证明△BMD∽△CDN，再根据相似三角形的性质可得BM：CD=BD：CN=MD：DN=2：3，然后用含k的代数式表示出BD、CD，再根据BC=4计算出k的值即可．

解答：解：∵AM：AN=2：3，
∴设AM=2k，AN=3k，
∵△ABC边长为4，
∴MB=4-2k，NC=4-3k，
∵△AMN≌△DMN，
∴DM=AM=2k，DN=AN=3k，
∵∠MDN=∠A=60°，
∴∠MDB+∠NDC=120°，
∵∠C=60°，
∴∠NDC+∠DNC=120°，
∴∠DNC=∠MDB，
∴△BMD∽△CDN，
∴BM：CD=BD：CN=MD：DN=2：3，
∴BD=

2

3

NC=

8

3

-2k，
CD=

3

2

MB=6-3k，
于是

8

3

-2k+6-3k=4，
解得：k=

14

15

，
∴CD=

16

5

．

点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质，关键是利用含k的代数式表示出BD、CD的长．