Question

25、如图△ABC为等边三角形，直线a∥AB，D为直线BC上一点，∠ADE交直线a于点E，且∠ADE=60°．
（1）若D在BC上（如图1）求证CD+CE=CA；

（2）若D在CB延长线上，CD、CE、CA存在怎样数量关系，给出你的结论并证明．

Answer 1

分析：（1）实际上也就是求两条线段相等，在AC上取一点F，使CF=CD，然后求证△ADF≌△EDC即可．
（2）归根究底仍是求两条线段的问题，通过求证全等，最终得出几条边之间的关系．

解答：（1）证明：在AC上取点F，使CF=CD，
∵∠ACB=60°，
∴△DCF为等边三角形．
∴∠3+∠4=∠4+∠5=60°．
∴∠3=∠5．
∵∠1+∠ADE=∠2+∠ACE，，
∴∠1=∠2．
在△ADF和△ECD中，∠1=∠2，∠3=∠5，CD=DF，
∴△ADF≌△EDC．
∴CE=AF．
∴CD+CE=CF+AF=CA．

（2）解：CD、CE、CA满足CE+CA=CD；证明如下：
在CA延长线上取CF=CD，
∵∠ACD=60°，
∴△FCD为等边三角形．
∵∠1+∠2=∠2+∠3=60°，
∴∠1=∠3．
在△DFA和△DCE中
∠F=∠DCE，DF=CD，∠1=∠3，
∴△DFA≌△DCE．
∴CE=FA．
∴CE+CA=FA+CA=CF=CD．
注：证法（二）以CD为边向下作等边三角形，可证．
证法（三）过点D分别向CA、CE作垂线，也可证．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质；可围绕结论寻找全等三角形，运用全等三角形的性质判定线段相等，证得三角形全等是正确解答本题的关键．