Question

如图1，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F分别在AB、AC边上，此时BD＝CF，BD⊥CF成立.

（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ（）时，如图2，BD＝CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.

（2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点G.

① 求证：BD⊥CF；

② 当AB＝4，AD＝时，求线段BG的长.

 

            图1                      图2                       图3

Answer 1

解（1）BD＝CF成立.

理由：∵△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，

∴AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=90°,

         ∵∠BAD=，∠CAF=，

∴∠BAD=∠CAF，∴△BAD≌△CAF.

∴BD＝CF.

（2）①证明：设BG交AC于点M.

∵△BAD≌△CAF（已证），∴∠ABM＝∠GCM.

∵∠BMA ＝∠CMG ，∴△BMA ∽△CMG.

∴∠BGC＝∠BAC ＝90°.∴BD⊥CF.

）

②过点F作FN⊥AC于点N.

∵在正方形ADEF中，AD＝，

∴AN＝FN＝.

∵在等腰直角△ABC 中，AB＝4，

∴CN＝AC－AN＝3，BC＝.

Rt△FCN∽Rt△ABM，∴

∴AM＝.

∴CM＝AC－AM＝4－＝， .

∵△BMA ∽△CMG，∴.

∴. ∴CG＝.

∴在Rt△BGC中，.）