Question

如图，AC⊥BC，AC=BC，过C点任画直线l，过A点、B点分别作l的垂线AE、BF，垂足为E、F，试画图探究AE、BF与EF的数量关系．

Answer 1

分析：先根据题意画出图形，如图1，2，3．再根据等腰直角三角形的性质就可以得出△AEC≌△CFB，进而可以得出结论．

解答：解：AE+BF=EF，BF-AE=EF，AE-BF=EF 
如图1，∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°．
∴∠ACE+∠BCF=90°
∵AE⊥EF，BF⊥EF，
∴∠AEC=∠BFC=90°，
∴∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠EAC=∠FCB．
在△AEC和△CFB中

∠AEC=∠BFC ∠EAC=∠FCB AC=BC

，
∴△AEC≌△CFB（AAS），
∴AE=CF，EC=FB，
∵EF=EC+CF，
∴EF=AE+BF；
如图2，∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°．
∴∠ACE+∠BCF=90°
∵AE⊥EF，BF⊥EF，
∴∠AEC=∠BFC=90°，
∴∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠EAC=∠FCB．
在△AEC和△CFB中

∠AEC=∠BFC ∠EAC=∠FCB AC=BC

，
∴△AEC≌△CFB（AAS），
∴AE=CF，EC=FB，
∵CE-CF=EF，
∴BF-AE=EF；
如图3，∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°．
∴∠ACE+∠BCF=90°
∵AE⊥EF，BF⊥EF，
∴∠AEC=∠BFC=90°，
∴∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠EAC=∠FCB．
在△AEC和△CFB中

∠AEC=∠BFC ∠EAC=∠FCB AC=BC

，
∴△AEC≌△CFB（AAS），
∴AE=CF，EC=FB，
∵CF-CE=EF，
∴AE-BF=EF．

点评：本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，分类讨论思想的运用，解答时证明三角形全等是解答的关键．