Question

在平行四边形ABCD中，点P是对角线AC上的一个动点（不与A、C重合），过P分别作直线交AD、BC于F、G，交AB、DC于F、H，连接EF和GH．
求证：EF∥GH．

Answer 1

分析：由相似三角形△AEP∽△CGP、△AFP∽△CPH的对应边成比例和等量代换推知

EP

GP

=

FP

HP

．再由对顶角∠EPF=∠GPH证得△EFP∽△GHP，所以由该相似三角形的对应角相等推知内错角∠FEP=∠HGP．

解答：证明：∵在平行四边形ABCD中，AD∥CB，
∴∠AEP=∠CGP．
又∵∠APE=∠CPG，
∴△AEP∽△CGP，
∴

EP

GP

=

AP

CP

．
同理，△AFP∽△CPH，则

FP

HP

=

AP

CP

，
∴

EP

GP

=

FP

HP

．
又∠EPF=∠GPH，
∴△EFP∽△GHP，
∴∠FEP=∠HGP，
∴EF∥GH．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质．解答该题的关键是推知△EFP∽△GHP．