Question

2．如图①是汽车后窗雨刮器示意图，橡皮条AB绕点O逆时针旋转90°，O、A、B在一条直线上，如图②将OAB折弯，使∠OAB=120°，橡皮条AB绕点O逆时针旋转90°，其中AB=20cm，OA=10cm
（1）求图①中橡皮条AB刮过的面积；
（2）在图②中
①求点O到AB的距离；
②求橡皮条AB刮过的面积；
（3）如图③，将图的阴影部分放入一个矩形AEFG内，其中B在AF上，D在FG上，$\widehat{BD}$与EF相切，直接写出矩形AEFG的长和宽．

Answer 1

分析 （1）如图①，根据S_阴影部分=S_扇形OBD-S_扇形OAC计算即可；
（2）①如图2中，作OH⊥BA于H．根据OH=OA•sin60°计算即可；
②根据题意，得∠1=∠2，由圆心角都为90°的扇形OAC与扇形OBD得到，OA=OC，OB=OD，于是△OAB≌△OCD，S_扇形OCE=S_扇形OAF，
得到S_曲边DEC=S_曲边ABF，则S_阴影部分=S_曲边DEFB=S_扇形OBD-S_扇形OEF，由此计算即可；
（3）如图3中，作OM⊥BF于M交AG于N，作CH⊥OM于H．在Rt△COH中，OC=10，∠OCH=60°，求出CH=$\frac{1}{2}$OC=5，在Rt△AON中，由AO=10，∠OAN=30°，求出ON，AN即可解决问题；

解答 解：（1）如图①

S_阴影部分=S_扇形OBD-S_扇形OAC=$\frac{90π•3{0}^{2}}{360}$-$\frac{90π•1{0}^{2}}{360}$=200π

（2）①如图2中，作OH⊥BA于H．

在Rt△OAH中，∵∠OAH=60°，OA=10，∠H=90°，
∴OH=OA•sin60°=5$\sqrt{3}$．
∴点O到AB的距离为5$\sqrt{3}$．
②根据题意，得∠1=∠2，
由圆心角都为90°的扇形OAC与扇形OBD得到，OA=OC，OB=OD，
于是△OAB≌△OCD，S_扇形OCE=S_扇形OAF，
得到S_曲边DEC=S_曲边ABF，
则S_阴影部分=S_曲边DEFB=S_扇形OBD-S_扇形OEF=200π．

（3）如图3中，作OM⊥BF于M交AG于N，作CH⊥OM于H．

易知OM=20+10=30，
在Rt△COH中，OC=10，∠OCH=60°，
∴CH=$\frac{1}{2}$OC=5，
在Rt△AON中，∵AO=10，∠OAN=30°，
∴ON=$\frac{1}{2}$OA=5，AN=5$\sqrt{3}$，
∴FG=MN=OM-ON=30-5=25，AG=CD+CH+AN=20+5+5$\sqrt{3}$=25+5$\sqrt{3}$，
∴矩形AEFG的长和宽分别为25+5$\sqrt{3}$和25．

点评 本题考查圆综合题、扇形的面积、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会把不规则图形转化为规则图形解决，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．