Question

如图，抛物线y=x²+2x-3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）设直线y=x+3与y轴的交点是D，在线段AD上任意取一点E（不与A、D重合），经过A、B、E三点的圆交直线AC于点F，试判断△BEF的形状．

Answer 1

分析：（1）将抛物线的解析式的一般式转化为顶点式就可以求出抛物线的顶点坐标．
（2）连接BE、BF、EF得到△BEF，由抛物线y=x²+2x-3可以得出A（-3，0），C（0，3），由直线y=x+3与y轴的交点是D可以求出D（0，3），可以求出∠EAB=∠FAB=45°，根据圆周角定理可以求得∠EAB=∠EFB=∠FAB=∠FEB=45°，从而得出结论．

解答：解：（1）∵y=x²+2x-3，
∴y=（x+1）²-4
∴顶点坐标是（-1，-4）
（2）△BEF是等腰直角三角形．
连接BE、BF、EF得到△BEF．
∵y=x²+2x-3与x轴交于A、B两点，
∴y=0时，x²+2x-3=0，求得：
x₁=-3，x₂=1，
∴A（-3，0）．
当x=0时，y=-3，
∴C（0，-3）．
∵直线y=x+3与y轴的交点是D，
∴x=0时，y=3，
∴D（0，3），
∴OA=OC=OD=3，

∴∠EAB=∠FAB=45°
∵∠EAB=∠EFB，∠FAB=∠FEB
∴∠EFB=∠FEB=45°
∴∠EBF=90°，EB=FB，
∴△BEF是等腰直角三角形．

点评：本题是一道二次函数的综合试题，考查了利用二次函数的解析式求抛物线的解析式，等腰直角三角形的性质及判定及圆周角定理的运用．