Question

如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=

a

x

的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，已知OA=

5

，点B的坐标为（

1

2

，m），过点A作AH⊥x轴，垂足为H，AH=

1

2

HO．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．

Answer 1

分析：（1）在Rt△OAH中，OA=

5

，AH=

1

2

HO，根据它们可以求出A的坐标，然后代入反比例函数解析式中，就可以确定反比例函数的解析式，再把B的坐标代入确定B的坐标，最后代入y=kx+b确定k，b的值；
（2）根据一次函数的解析式可以确定D的坐标，然后利用面积的分割法求出△AOB的面积，可以分割成S_△AOB=S_△AOD+S_△BOD去求．

解答：解：(1)∵AH=

1

2

HO，而AO2=(

5

)2=AH2+HO2
∴5=AH²+4AH²，∴AH=1，HO=2，∴A（-2，1）（2分）
∵点A在反比例函数y=

k

x

的图象上
∴1=

k

-2

，∴k=-2；∴反比例函解析式为y=-

2

x

（3分）
将B(

1

2

，m)代入y=-

2

x

中得，m=-4，∴B(

1

2

，-4)（4分）
把A（-2，1）和B（

1

2

，-4）代入y=ax+b中得

1=-2a+b -4= 1 2 a+b

解得a=-2，b=-3
∴一次函数解析式为y=-2x-3；（6分）

（2）∵OD=|b|=3
∴S_△AOB=S_△AOD+S_△BOD=

1

2

|b|•|xA|+

1

2

|b|•|xB|=

1

2

×3×2+

1

2

×3×

1

2

=

15

4

（8分）．

点评：此题主要考查了利用待定系数法确定函数的解析式，然后利用函数解析式确定点的坐标，再根据坐标确定不规则图形的面积．