Question

已知：如图，在△ABC中，BC＝AC，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E.

(1)求证：点D是AB的中点；

(2)判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；

(3)若⊙O的直径为18，cosB＝，求DE的长．

Answer 1

 (1)证明：如图，连接CD，则CD⊥AB，

　　

又∵AC＝BC，

∴AD＝BD , 即点D是AB的中点．

(2)解：DE是⊙O的切线．

理由是：连接OD，则DO是△ABC的中位线，

∴DO∥AC.

又∵DE⊥AC，

∴DE⊥DO，

又∵OD是⊙O的半径，

∴DE是⊙O的切线．

(3)∵AC＝BC，∴∠B＝∠A，

∴cos∠B＝cos∠A＝.

∵cos∠B＝＝，BC＝18，

∴BD＝6，∴AD＝6.

∵cos∠A＝＝，

∴AE＝2.

在Rt△AED中，DE＝＝4 .