Question

如图：已知反比例C₁：y=

k1

x

；C₂：y=

k2

x

，且k₁＞k₂＞0，点P是双曲线C₁上的一点，过P点引x、y轴的平行线交双曲线C₂于A、B两点，连接AB．
（1）当取k₁=4，k₂=1，
①点P坐标为（2，2）时，则S_三角形ABP=

9

8

；
②点P坐标为（1，4）时，S_三角形ABP=

9

8

．
（2）通过观察、思考（1）的计算结果，你能猜想到△ABP的面积有何规律或特征？并请你用含k₁、k₂的代数式表示△ABP的面积．

Answer 1

分析：（1）根据AP∥x轴，BP∥y轴，得到AP⊥PB，从而知道，点B、点P横坐标相同，点A、点P纵坐标相同，求出A点横坐标x_A，B点纵坐标y_B，再利用P点坐标，求出AP、BP的长，从而得到三角形的面积．
（2）根据AP∥x轴，BP∥y轴，得到AP⊥PB，从而知道，点B、点P横坐标相同，点A、点P纵坐标相同，设点P的横坐标为a，则纵坐标为

k1

a

，代入解析式求出A（

ak2

k1

，

k1

a

），B（a，

k2

a

），从而求出AP和BP的长，表示出S_三角形ABP．

解答：解：（1）当取k₁=4，k₂=1时，反比例C₁：y=

k1

x

；C₂：y=

k2

x

可化为C₁：y=

4

x

，C₂：y=

1

x

；
∵AP∥x轴，BP∥y轴，
∴AP⊥PB，
∴点B、点P横坐标相同，点A、点P纵坐标相同，
①点P坐标为（2，2）时，设A点坐标为（x_A，2），B点坐标为（2，y_B），
把A点坐标（x_A，2）代入y=

1

x

得，x_A=

1

2

；
把B点坐标（2，y_B）代入y=

1

x

得，y_B=

1

2

，
∴S_三角形ABP=

1

2

×AP×BP
=

1

2

×（2-

1

2

）×（2-

1

2

）
=

9

8

，
②点P坐标为（1，4）时，设A点坐标为（x_A，4），B点坐标为（1，y_B），
把A点坐标（x_A，4）代入y=

1

x

得，x_A=

1

4

；
把B点坐标（1，y_B）代入y=

1

x

得，y_B=1，
∴S_三角形ABP=

1

2

×AP×BP
=

1

2

×（1-

1

4

）×（4-1）
=

9

8

．
故答案为案为

9

8

，

9

8

．

（2）不论点P在双曲线C₁上的任意处，△ABP的面积等于一个定值．
∵PA∥x轴，PB∥y轴，
∴∠APB=90°，
设点P的横坐标为a，则纵坐标为

k1

a

，
又∵A与P的纵坐标相同，
∴

k1

a

=

k2

x

，x=

ak2

k1

，
∴A（

ak2

k1

，

k1

a

），
∵B与P的横坐标相同，
∴y=

k2

a

，
∴B（a，

k2

a

）．
AP=a-

ak2

k1

=

ak1-ak2

k1

=a×

k1-k2

k1

，PB=

k1

a

-

k2

a

=

k1-k2

a

．
∴S三角形ABP=

1

2

×a×

k1-k2

k1

×

k1-k2

a

=

(k1-k2)2

2k1

．

点评：本题考查了反比例函数综合题，涉及函数图象上点的坐标特征、三角形的面积与坐标的关系，是一道好题．