Question

如图，已知直线l：y=-x+m（m≠0）交x轴、y 轴于A、B两点，点C、M分别在线段OA、AB上，且OC=2CA，AM=2MB，连接MC，将△ACM绕点M旋转180°，得到△FEM，显然点E在y轴上，点F在直线l上；取线段EO中点N，将△ACM沿MN所在直线翻折，得到△PMG，其中P与A为对称点。记：过点F的反比例函数图象为C₁，过点M且以B为顶点的二次函数图象为C₂，过点P且以M为顶点的二次函数图象为C₃。

（1）当m=6时，①直接写出点M、F的坐标，②求C₁、C₂的函数解析式；
（2）当m发生变化时，①在C₁的每一支上，y随x的增大如何变化？请说明理由；
②若C₂、C₃中的y都随着x的增大而减小，写出x的取值范围。

Answer 1

解：（1）①点M的坐标为（2，4），点F的坐标为（-2，8）； ②设C1的函数解析式为y=（k≠0）， ∵C1过点F（-2，8）， ∴， ∴k=-16， ∴C1的函数解析式为， ∵C2的顶点B的坐标是（0，6）， ∴设C2的函数解析式为y=ax2+6（a≠0）， ∵C2过点M（2，4）， ∴4a+6=4，a=-， ∴C2的函数解析式为； （2）依题意得，A（m，0），B（0，m）， ∴点M坐标为，点F坐标为， ①设C1的函数解析式为（k≠0）， ∵C1过点， ∴， ∵m≠0， ∴k<0， ∴在C1的每一支上，y随着x的增大而增大； ②当m>0时，满足题意的x的取值范围为， 当m<0时，满足题意的x的取值范围为。