Question

【题目】如图，在矩形ABCO中，AO=3，tan∠ACB=，以O为坐标原点，OC为轴，OA为轴建立平面直角坐标系。设D，E分别是线段AC，OC上的动点，它们同时出发，点D以每秒3个单位的速度从点A向点C运动，点E以每秒1个单位的速度从点C向点O运动，设运动时间为秒。

（1）求直线AC的解析式；

（2）用含的代数式表示点D的坐标；

（3）当为何值时，△ODE为直角三角形？

（4）在什么条件下，以Rt△ODE的三个顶点能确定一条对称轴平行于轴的抛物线？并请选择一种情况，求出所确定抛物线的解析式.

Answer 1

【答案】（1）；（2）D（，）；（3），，，；（4）

【解析】

（1）在Rt△AOC中，已知AO的长以及∠ACB的正弦值，能求出OC的长，即可确定点C的坐标，利用待定系数法能求出直线AC的解析式．

（2）过D作AO、OC的垂线，通过构建相似三角形来求出点D的坐标．

（3）用t表示出OD、DE、OE的长，若△ODE为直角三角形，那么三边符合勾股定理，据此列方程求出对应的t的值．

（4）根据（3）的结论能得到t的值，△ODE中，当OD⊥x轴或DE垂直x轴时，都不能确定“一条对称轴平行于y轴的抛物线”，余下的情况都是符合要求的，首先得D、E的坐标，再利用待定系数法求出抛物线的解析式．

（1）根据题意，得CO=AB=BCtan∠ACB=4，则A（0，3）、B（4，3）、C（4，0）；

设直线AC的解析式为：y=kx+3，代入C点坐标，得：

4k+3=0，k=-，

∴直线AC：；

（2）分别作DF⊥AO，DH⊥CO，垂足分别为F，H，

则有△ADF∽△DCH∽△ACO，

∴AD：DC：AC=AF：DH：AO=FD：HC：OC，

而AD=（其中0≤≤），OC=AB=4，AC=5，∴FD=AD=，AF=AD=，

DH=，HC=，

∴D（，）；

（3）CE=，E（，0），OE=OC-CE=4-，HE=|CH-CE|=，

则OD2=DH2+OH2==，

DE2=DH2+HE2==，

当△ODE为Rt△时，有OD2+DE2=OE2，或OD2+OE2=DE2，或DE2+OE2=OD2，

即①，

或②，

或③，

上述三个方程在0≤≤内的所有实数解为

，，，；

（4）当DO⊥OE，及DE⊥OE时，即和时，以Rt△ODE的三个顶点不确定对称轴平行于轴的抛物线，其它两种情况都可以各确定一条对称轴平行于轴的抛物线D（，），E（4-，0），

当时，D（，），E（3，0），因为抛物线过O（0，0），

所以设所求抛物线为，将点D，E坐标代入，求得，，

∴所求抛物线为.

（当时，所求抛物线为）.