Question

【题目】已知抛物线C1：y＝ax2﹣4ax﹣5的开口向上．

（1）当a＝1时，求抛物线与x轴的交点坐标；

（2）试说明抛物线C1一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标；

（3）将抛物线C1沿（2）所求的两个定点所在直线翻折，得到抛物线C2，

①写出抛物线C2的表达式；

②当抛物线C2的顶点到x轴的距离为2，求a的值．

Answer 1

【答案】（1）抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0）或（5，0）；（2）抛物线C1一定经过两个定点（0，﹣5），（4，﹣5）；（3）①抛物线C2解析式为y＝﹣ax2+4ax﹣5，②a＝或．

【解析】

（1）将a＝1代入函数解析式，即可求出函数的解析式，然后令y=0，求出x的值即可解决.

（2）将解析式化成两部分，一部分为常数项，另一部分进行因式分解写成几个因式相乘的形式，观察解析式的特征，即可解决问题.

（3）①根据翻折的性质，抛物线开口方向相反，但对称轴没有发生变化，根据此可以得到抛物线C2解析式为：y＝﹣ax2+4ax﹣5，②根据二次函数的性质，可知y=2或y=-2，对称轴未发生变化，x=2，将两者分别代入，求出a的值即可.

（1）当a＝1时，抛物线解析式为y＝x2﹣4x﹣5＝（x﹣2）2﹣9，

∴对称轴为x＝2；

∴当y＝0时，x﹣2＝3或﹣3，即x＝﹣1或5；

∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0）或（5，0）；

（2）抛物线C1解析式为：y＝ax2﹣4ax﹣5，

整理得：y＝ax（x﹣4）﹣5；

∵当ax（x﹣4）＝0时，y恒定为﹣5；

∴抛物线C1一定经过两个定点（0，﹣5），（4，﹣5）；

（3）①这两个点连线为y＝﹣5；

将抛物线C1沿y＝﹣5翻折，得到抛物线C2，开口方向变了，但是对称轴没变；

∴抛物线C2解析式为：y＝﹣ax2+4ax﹣5，

②抛物线C2的顶点到x轴的距离为2，

则x＝2时，y＝2或者﹣2；

当y＝2时，2＝﹣4a+8a﹣5，解得，a＝；

当y＝﹣2时，﹣2＝﹣4a+8a﹣5，解得，a＝；

∴a＝或．