Question

17．如图，抛物线y=ax²-$\frac{3}{2}$x-2（a≠）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为（4，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标；
（3）试探究：△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标．

Answer 1

分析 （1）该函数解析式只有一个待定系数，只需将B点坐标代入解析式中即可．
（2）利用过点M作y轴的平行线，再利用S_△MBC=S_△CME+S_△BEM得出二次函数最值得出答案；
（3）首先根据抛物线的解析式确定A点坐标，然后通过证明△ABC是直角三角形来推导出直径AB和圆心的位置，由此确定圆心坐标．

解答 解：（1）将B（4，0）代入抛物线的解析式中，得：
0=16a-$\frac{3}{2}$×4-2，即：a=$\frac{1}{2}$；
∴抛物线的解析式为：y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2．

（2）可得：B（4，0）、C（0，-2），设直线BC的解析式为：y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-2}\end{array}\right.$
故直线BC的解析式为：y=x-2；
设x_M=t，则y_M=$\frac{1}{2}$t²-$\frac{3}{2}$t-2，y_N=$\frac{1}{2}$t-2，
S_△MBC=S_△CME+S_△BEM=$\frac{1}{2}$EM•ON+$\frac{1}{2}$EM•BN=$\frac{1}{2}$EM•OB
=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$t-2-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{3}{2}$t+2）×4
=-t²+4t
=-（t-2）²+4，
∴当t=2时，S_△MBC=最大值为4，此时M（2，-3）；

（3）由（1）的函数解析式可求得：A（-1，0）、C（0，-2）；
∴OA=1，OC=2，OB=4，
即：OC²=OA•OB，
又∵OC⊥AB，
∴△OAC∽△OCB，
∴∠OCA=∠OBC；
∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°，
∴△ABC为直角三角形，AB为△ABC外接圆的直径；
∴该外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为（1.5，0）．

点评 此题考查了二次函数综合题，熟练掌握待定系数法求函数解析式、二次函数最值求法以及三角形的面积公式，正确利用相似三角形的性质解题是关键．