Question

在△ABC中，∠C=2∠B，AD为△ABC的角平分线．
（1）如图①，当∠C=90°，在AB上截取AE=AC，连接DE，线段AB、AC、CD的数量关系是AB=AC+CD，请给以证明；
（2）如图②，当∠C≠90°，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出结论，并加以证明．

Answer 1

分析：（1）在AB上截取AE=AC，连接DE，证△CAD≌△EAD，推出∠AED=∠C=90°，CD=DE，求出∠BDE=∠B=45°，推出BE=DE即可；
（2）在AB上截取AE=AC，连接DE，证△CAD≌△EAD，推出∠AED=∠C=90°，CD=DE，求出∠BDE=∠B，推出BE=DE即可．

解答：（1）证明：在AB上截取AE=AC，连接DE，
∵∠C=90°，∠C=2∠B，
∴∠B=45°，
∵AD为△ABC的角平分线，
∴∠CAD=∠EAD，
在△CAD和△EAD中

AD=AD ∠CAD=∠EAD AC=AE

∴△CAD≌△EAD，
∴∠AED=∠C=90°，CD=DE，
∵∠B=45°，
∴∠BDE=∠AED-∠B=45°=∠B，
∴BE=DE，
∴AB=AE+BE=AC+CD．
（2）AB=AC+CD，
证明：在AB上截取AE=AC，连接DE，
∵在△CAD和△EAD中

AD=AD ∠CAD=∠EAD AC=AE

∴△CAD≌△EAD，
∴∠AED=∠C，CD=DE，
∵∠C=2∠B，
∴∠AED=2∠B=∠B+∠EDB，
∴∠BDE=∠B，
∴BE=DE，
∴AB=AE+BE=AC+CD．

点评：本题考查了角平分线定义，全等三角形的性质和判定，三角形外角性质的应用，主要考查学生的推理能力．