Question

【题目】（1）如图1，在正方形ABCD中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点，P是BC延长线上一点，N是∠DCP的平分线上一点．若∠AMN＝90°，求证：AM＝MN．

下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明．

证明：在边AB上截取AE＝MC，连接ME．正方形ABCD中，∠B＝∠BCD＝90°，AB＝BC．∴∠NMC＝180°﹣∠AMN﹣∠AMB＝180°﹣∠B﹣∠AMB＝∠MAB＝∠MAE．

（下面请你完成余下的证明过程）

（2）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”（如图2），N是∠ACP的平分线上一点，则∠AMN＝60°时，结论AM＝MN是否还成立？请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）结论AM＝MN还成立；证明见解析；

【解析】

（1）在边AB上截取AE＝MC，连接ME，由题中条件可得∠AEM=∠MCN=135°，再由两角夹一边即可判定三角形全等；

（2）还是利用两角夹一边证明其全等，证明方法同（1）．

（1）证明：在边AB上截取AE＝MC，连接ME．

∵正方形ABCD中，∠B＝∠BCD＝90°，AB＝BC．

∴∠NMC＝180°﹣∠AMN﹣∠AMB＝180°﹣∠B﹣∠AMB＝∠MAB＝∠MAE，

BE＝AB﹣AE＝BC﹣MC＝BM，

∴∠BEM＝45°，∴∠AEM＝135°．

∵N是∠DCP的平分线上一点，

∴∠NCP＝45°，∴∠MCN＝135°．

在△AEM与△MCN中，∠MAE＝∠NMC，AE＝MC，∠AEM＝∠MCN，

∴△AEM≌△MCN（ASA），

∴AM＝MN．

（2）解：结论AM＝MN还成立

证明：在边AB上截取AE＝MC，连接ME．

在正△ABC中，∠B＝∠BCA＝60°，AB＝BC．

∴∠NMC＝180°﹣∠AMN﹣∠AMB＝180°﹣∠B﹣∠AMB＝∠MAE，

BE＝AB﹣AE＝BC﹣MC＝BM，

∴∠BEM＝60°，∴∠AEM＝120°．

∵N是∠ACP的平分线上一点，

∴∠ACN＝60°，∴∠MCN＝120°．

在△AEM与△MCN中，∠MAE＝∠NMC，AE＝MC，∠AEM＝∠MCN，

∴△AEM≌△MCN（ASA），

∴AM＝MN．