题目内容
【题目】如图1，在△ABC中，CD为AB边上的中线，点E、F分别在线段CD、AD上，且 
．点G是EF的中点，射线DG交AC于点H．
（1）求证：△DFE∽△DAC；
（2）请你判断点H是否为AC的中点？并说明理由；
（3）若将△ADH绕点D顺时针旋转至△A′DH′，使射线DH′与射线CB相交于点M（不与B，C重合．图2是旋转后的一种情形），请探究∠BMD与∠BDA′之间所满足的数量关系，并加以证明．
【答案】
（1）
证明：∵CD为AB边上的中线，
∴DB=DA，
∵ 
，
∴ 
，又∠FDE=∠ADC，
∴△DFE∽△DAC
（2）
解：点H为AC的中点．
理由如下：∵△DFE∽△DAC，
∴∠DFE=∠DAC，
∴EF∥AC，
∴△DGF∽△DHA，△DEG∽△DCH，
∴ 
， 
，
∴ 
，
∵点G是EF的中点，
∴EG=FG，
∴HC=AH，即点H为AC的中点
（3）
解：①如图2，当点M在线段BC上时（不与B，C重合），
∠BMD+∠BDA'=180°，
∵BD=AD，HC=AH，
∴DH∥BC，
∴∠BMD=∠HDH′，
∵将△ADH绕点D旋转至△A'DH'，
∴∠HDH′=∠ADA'．
∵∠BDA′+∠ADA'=180°，
∴∠BMD+∠BDA′=180°；
②如图3，当点M在CB的延长线上时，∠BMD=∠BDA'，
∵BD=AD，HC=AH，
∴DH∥BC，
∴∠BMD=∠NDH，
∵将△ADH绕点D旋转至△A'DH'，
∴∠HDH′=∠ADA'，
∵∠BDA′+∠ADA'=180°，
∠NDH+∠HDH′=180°，
∴∠NDH=∠BDA′，
∴∠BMD=∠BDA′．
【解析】（1）根据三角形的中线的概念和相似三角形的判定定理证明即可；（2）证明△DGF∽△DHA，△DEG∽△DCH，根据相似三角形的性质得到比例式，根据线段中点的概念得到EG=FG，等量代换即可；（3）分点M在线段BC上和点M在CB的延长线上两种情况，根据相似三角形的性质和旋转的性质解答即可．
【考点精析】认真审题，首先需要了解相似三角形的判定与性质(相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方)．
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