Question

研究下列算式，你会发现什么规律？
1×3+1=4=2²
2×4+1=9=3²
3×5+1=16=4²
4×6+1=25=5²
…
（1）请你找出规律井计算7×9+1=

 

=（

 

）²
（2）用含有n的式子表示上面的规律：

 

．
（3）用找到的规律解决下面的问题：
计算：(1+

1

1×3

)(1+

1

2×4

)(1+

1

3×5

)(1+

1

4×6

)…(1+

1

9×11

)=

 

．

Answer 1

分析：（1）（2）观察发现一个正整数乘以比这个正整数大2的数再加1就等于这个正整数加1的平方，依此得到7×9+1=64=8²；含有n的式子表示的规律．
（3）由（1+

1

1×3

）（1+

1

2×4

）=

2

1

×

2

3

×

3

2

×

3

4

知，(1+

1

1×3

)(1+

1

2×4

)(1+

1

3×5

)(1+

1

4×6

)…(1+

1

9×11

)+…+（1+

1

n(n+2)

）=

2(n+1)

n+2

，利用此规律计算．

解答：解：（1）7×9+1=64=8²；
（2）上述算式有规律，可以用n表示为：n（n+2）+1=n²+2n+1=（n+1）²．
（3）原式=

2(9+1)

9+2

=

20

11

．
故答案为：64，8；n（n+2）+1=（n+1）²；

20

11

．

点评：本题考查了有理数的运算，是找规律题，找到(1+

1

1×3

)(1+

1

2×4

)(1+

1

3×5

)(1+

1

4×6

)…(1+

1

9×11

)+…+（1+

1

n(n+2)

）=

2

1

×

2

3

×

3

2

×

3

4

×

4

3

×

4

5

×…×

n+1

n

×

n+1

n+2

=

2(n+1)

n+2

是解题的关键．