Question

如图，已知O是线段AB上一点，以OB为半径的⊙O交线段AB于点C，以线段OA为直径的半圆交⊙O于点D，过点B作AB垂线与AD的延长线交于点E，连结CD．若AC＝2，且AC、AD的长是关于x的方程x²－kx＋4＝0的两个根．

（1）证明AE切⊙O于点D；

（2）求线段EB的长；

（3）求tan ∠ADC的值．

Answer 1

（1）【略证】连结OD．

∵  OA是半圆的直径，∴  ∠ADO＝90°．∴  AE切⊙O于点D．

（2）【略解】∵  AC、AD的长是关于x的方程x²－kx＋4＝0的两个根，且AC＝2，AC·AD＝2，

∴  AD＝4．∵  AD是⊙O的切线，ACB为割线，

∴  AD²＝AC·AB．又  AD＝2，AC＝2，∴  AB＝10．

则　BC＝8，OB＝4．∵  BE⊥AB，

∴  BE切⊙O于B．

又  AE切⊙O于点D，∴  ED＝EB．

在Rt△ABE中，设BE＝x，由勾股定理，得

（x＋2）²＝x²＋10²．

解此方程，得  x＝4．

即BE的长为4．

（3）连结BD，有∠CDB＝90°．

∵  AD切⊙O于D，

∴  ∠ADC＝∠ABD，且tan ∠ADC＝tan ∠ABD＝．

在△ADC和△ABD中，∠A＝∠A，∠ADC＝∠ABD，

∴  △ADC∽△ABD．

∴  ＝＝＝．

∴  tan ∠ADC＝．